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아, 여러분 안녕하세요! 오늘은 제가 진짜 재밌는 얘기를 해볼까 해요. 혹시 수학하면 뭐가 떠오르세요? 막 100% 확실하고, 오류 하나 없는 완벽한 학문? 증명! 딱 떨어지는 결론! 뭐, 그렇게 생각하시는 분들도 있을 거예요.
근데 있잖아요, 사실 수학이라는 게, 겉으로 보기엔 엄청 논리적이고 딱딱해 보여도, 그 안에는 엄청난 믿음, 그러니까 맹신 같은 게 숨어 있다는 거 아세요?
아니, 무슨 뚱딴지같은 소리냐고요? 수학에 믿음이라니? 증명이 있는데? 맞아요, 증명이라는 게 있죠. 근데 그 증명이라는 것 자체가, 결국엔 증명할 수 없는 믿음 위에 세워진다는 거예요. 그러니까, 수학은 우리가 상상도 못 하고, 증명도 못 하는 믿음들에 의존한다는 거죠. 심지어는 초자연적인 믿음들까지도!
물론, 이런 얘기 함부로 했다가는 큰일 나요. 예전에 어떤 분이 온라인 커뮤니티에 “수학적 증명은 믿음을 필요로 하는가?”라는 질문을 올렸다가, 완전 ‘탈탈’ 털렸대요. 엔지니어라서 그냥 깊이 있는 토론을 기대했을 뿐인데, 사람들이 막 달려들어서 비난했다고 하더라고요.
자, 그럼 우리 한번 솔직하게 대답해볼까요? 수학적 증명은 믿음을 필요로 할까요?
답을 찾기 위해, 옛날 옛적, 고대 그리스 시대로 돌아가 봅시다. 아리스토텔레스랑 유클리드라는 두 천재를 만나보는 거예요. 마치 마돈나랑 프린스처럼, 이름만 딱 들어도 누군지 알 수 있는 그런 사람들이죠.
아리스토텔레스는 논리학의 아버지라고 할 수 있죠. 그 사람이 만든 논리 체계 중에 ‘삼단논법’이라는 게 있어요. 예를 들어, “모든 까마귀는 검다. 에드가는 까마귀다. 따라서 에드가는 검다.” 이런 식인 거죠.
여기서 첫 번째 문장, “모든 까마귀는 검다”는 일종의 공리, 그러니까 그냥 믿는 거예요. 증명할 수 없지만, 일단 그걸 믿으면, 에드가에 대한 중요한 사실을 알 수 있게 되는 거죠. 믿는 것이 보는 것이다! 뭐, 그런 느낌?
유클리드는 아리스토텔레스의 논리에 감탄해서, 그걸 이용해서 평면 기하학의 모든 것을 증명하려고 했어요. 그러려면, 유클리드는 무려 33개의 공리를 가정해야 했어요. 23개의 정의, 5개의 공준, 그리고 5개의 공통 개념이죠.
예를 들어, 공통 개념 중에는 이런 것들이 있어요. “같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체도 같다.”, “같은 것에서 같은 것을 빼면 그 나머지도 같다.” 뭐, 이런 것들이죠. 너무 당연해서 굳이 증명할 필요도 없어 보이죠?
근데 왜 그렇게 당연하게 느껴질까요? 그건 우리가 구슬이나 바둑돌 같은 걸로 간단하게 실험해서 직접 확인할 수 있기 때문이에요. 그냥 약간의 지능만 있으면 믿을 수 있는, 아주 사소한 진리인 거죠.
하지만 유클리드의 다른 공리들은 그렇게 당연하지 않아요. 오히려 좀 황당하고, 믿으려면 엄청난 믿음이 필요한 것들이죠.
예를 들어, 유클리드는 점을 “폭도 없고, 깊이도 없고, 길이도 없는 것”이라고 정의했어요. 뭔가 있는 것 같으면서도 없는 것 같은! 양자역학의 진공과 비슷한 느낌이죠.
점이란 게 말이 안 되잖아요. 논리적이지도 않고, 눈으로 볼 수도 없고, 상상할 수도 없어요. 한번 점을 머릿속으로 그려보려고 해보세요. 안 되죠? 살아있는 동시에 죽어있고, 검은색이면서 흰색이고, 참이면서 거짓인 것을 상상할 수 없는 것처럼요.
하지만 유클리드의 점의 정의는 헛소리가 아니에요. 그냥 무시할 수 없어요. 왜냐? 그건 아주 심오하고, 초논리적인 믿음에 기반한 공리이고, 유클리드는 그걸 이용해서 평면 기하학 전체를 증명하고 있기 때문이죠.
머리가 좀 복잡해지나요?
기억을 되돌려서, 6장에서 만났던 ‘조’라는 환자를 떠올려 봅시다. 그 사람은 눈앞에 놓인 프라이팬 사진을 볼 수 없었어요. 하지만 눈을 감자, 그의 뇌의 우반구가, 특유의 직관으로, 말없이 그에게 말을 걸었고, 조는 즉시 프라이팬을 스케치했죠. 비록 좀 어설픈 그림이었지만요.
여기서도 똑같은 현상이 벌어지고 있는 거예요. 유클리드적인 점은 우리의 눈으로 볼 수 없고, 지능으로 이해할 수 없고, 상상력으로도 파악할 수 없는 것이에요. 하지만 우리의 뇌의 우반구는, 그 점을 보이지 않게, 말없이 인지할 수 있고, 그걸 이용해서 어설픈 점을 그릴 수 있는 거죠.
자, 다시 현재로 돌아와 봅시다.
유클리드의 믿음 – 논리적이지 않고, 볼 수도 없고, 상상할 수도 없는 공리에 대한 종교적인 맹신 – 은 너무나 강력해서, 수학에 혁명을 일으켰어요.
2천 년이 넘는 시간 동안, 우리는 유클리드의 역사적인 업적, 즉 그의 평면 기하학의 수많은 정리들을 이용해서 다리를 건설하고, 고층 건물을 짓고, 건물의 평면도를 설계하고, 달과 그 너머의 세계로 가는 궤도를 계산해 왔어요. 그런 이유로, 기하학 교과서는 성경을 제외하고 전 세계적으로 가장 많이 팔리고 읽힌 책이라고 하잖아요.
자, 이제 논리에 대한 믿음에 대해 이야기해볼까요? 유클리드 기하학은 깨달음을 얻은 믿음에 기초한 논리가 얼마나 강력할 수 있는지를 보여주는 놀라운 증거입니다. 하지만 논리의 힘에는 한계가 있을까요? 아니면 오늘날 많은 사람들이 믿게 하려는 것처럼, 모든 것을 다 할 수 있을까요?
정답은 아니요, 논리는 모든 것을 다 할 수 없습니다. 한계가 있습니다. 그것도 심각한 한계가 드러났습니다.
논리가 무너지는 끔찍한 이야기는 독일의 뛰어난 논리학자 프리드리히 루트비히 고틀로프 프레게로부터 시작됩니다. 그는 유클리드처럼 되고 싶었습니다. 유클리드가 기하학(도형 연구)에서 했던 것을 산술(숫자 연구)에서 하고 싶어 했습니다.
프레게는 먼저 6개의 공리 – 유클리드의 33개보다 훨씬 적은 수 – 를 명확히 했습니다. 이것들은 그가 1+1=2부터 시작하여 산술의 모든 정리를 증명할 수 있다고 확신하는 믿음들이었습니다. 프레게는 몇 년 동안 열심히 노력한 끝에 1893년, 드디어 자신이 3권으로 구성된 대작이라고 믿었던 것의 첫 번째 권을 출판합니다: 산술의 기본 법칙.
9년 후, 프레게는 두 번째 권을 마쳤습니다. 하지만 그가 원고를 출판사에 제출하려는 순간, 전설적인 웨일스 수학자 버트런드 러셀로부터 나쁜 소식을 받았습니다.
1902년 6월 16일자 편지에서 러셀은 프레게에게 첫 번째 권에서 오류를 발견했다고 알렸습니다. 오타가 아니라 프레게 논리의 치명적인 결함이었습니다.
자세한 내용은 생략하겠지만, 핵심은 다음과 같습니다. 러셀은 프레게의 추론에서 그의 다섯 번째 공리, 즉 그룹 또는 집합의 멤버십을 정의하는 공리에서 문제가 발생한다는 것을 발견했습니다. 집합은 수학에서 매우 중요하며 신중하게 정의해야 합니다.
예를 들어, 지구상의 모든 살아있는 사람들의 집합은 죽지 않은 지구상의 모든 사람들만을 포함하는 집합입니다. 간단하죠?
하지만 이제 면도한 남자들만 사는 마을을 상상해 보세요. 그들 중에는 마을의 유일한 이발사가 있는데, 그는 "나는 스스로 면도하지 않는 모든 남자들만 면도해 줍니다"라고 자랑합니다.
질문: 스스로 면도하는 모든 남자들의 집합에 대해 뭐라고 말할 수 있습니까? 그 집합에 이발사가 포함됩니까? 다시 말해서, 이발사는 스스로 면도하는 남자입니까?
너무 빨리 대답하지 마세요. 까다롭습니다.
만약 당신이 "네, 이발사는 스스로 면도합니다"라고 말한다면, 그것은 이발사가 스스로 면도하지 않는 남자들만 면도해 준다는 그의 자랑과 모순됩니다.
만약 당신이 "아니요, 이발사는 스스로 면도하지 않습니다"라고 말한다면, 그것은 그가 스스로 면도하지 않는 모든 남자들을 면도해 준다는 이발사의 자랑과 모순됩니다.
따라서 제 질문에 대한 논리적인 답은 없습니다. 논리는 그 미스터리를 푸는 데 완전히 실패합니다.
문제를 보는 또 다른 방법이 있습니다. 질문: 이 헤드라인은 참입니까, 거짓입니까?
이 문장은 거짓이다.
문장이 참이면 거짓입니다. 거짓이면 참입니다!
다시 한번, 논리는 통제 불능 상태가 되어 우리를 빠져나갈 수 없는 순환 논리의 소용돌이 속으로 빨아들입니다.
그것이 본질적으로 러셀이 발견한 프레게 논리의 결함입니다. 상상하시다시피, 유클리드처럼 되고 싶었던 그는 아연실색했습니다.
"당신의 모순 발견은 말로 표현할 수 없을 정도로 저를 놀라게 했습니다."라고 프레게는 러셀에게 답장을 썼습니다. "그리고 거의 말하고 싶을 정도로, 저를 벼락 맞은 것처럼 만들었습니다. 왜냐하면 그것은 제가 산술을 세우려고 했던 땅을 흔들었기 때문입니다."
1903년, 프레게는 어쨌든 그의 두 번째 권을 출판했지만, 다음과 같은 슬픈 면책 조항을 달았습니다. "과학 작가에게 자신의 작품이 완성된 후 그의 건축물의 기초 중 하나가 흔들리는 것보다 더 불행한 일은 거의 없을 것입니다. 저는 러셀 씨의 편지로 인해 이런 입장에 놓였습니다. 바로 이 책의 인쇄가 거의 완료될 무렵에 말입니다."
프레게는 실패한 걸작의 세 번째 권을 출판하지 않았고, 16년 동안 다른 것도 거의 출판하지 않았습니다. 1923년까지 그는 논리를 사용하여 산술을 증명한다는 생각을 완전히 포기했고, 1925년 7월 26일에 상대적으로 무명 상태로 사망했습니다. 하지만 오늘날 그는 당연히 뛰어난 논리학자로 칭송받고 있습니다.
프레게뿐만 아니라 모든 수학자들이 이 끔찍한 사건에 불안해했습니다. 1925년까지, 아마도 세기 최고의 재능 있는 수학자였을 데이비드 힐베르트는 "우리가 모순에 직면하는 현재 상황은 용납할 수 없습니다. 모든 사람이 수학에서 배우고, 가르치고, 사용하는 정의와 연역적 방법이 진실과 확실성의 본보기라는 점을 생각해 보십시오. 만약 수학적 사고에 결함이 있다면, 우리는 어디에서 진실과 확실성을 찾을 수 있을까요?"라고 인정했습니다.
정말로 어디에서 찾을 수 있을까요?
힐베르트는 동료들에게 희망을 잃지 말라고 촉구했습니다. 그는 모순은 단지 결함이 있는 공리의 증상일 뿐이라고 말했습니다. 프레게의 다섯 번째 공리가 그러한 원흉 중 하나입니다. 따라서 해결책은 더 신중하게 공리를 선택하는 것이었습니다. 깨달음을 얻고, 잘못 인도되지 않은, 한마디로 자기 모순이 없는 공리 말입니다.
수학자들은 버트런드 러셀과 그의 뛰어난 선배 동료인 알프레드 노스 화이트헤드를 포함하여 힐베르트의 애절한 전투 외침에 열광적으로 반응했습니다. 1910년, 그들은 (프레게의 그림자에서!) Principia Mathematica라는 제목의 계획된 3권 작품의 첫 번째 권을 출판했습니다. 그것은 마침내 수학을 모순 없이 견고하고 논리적인 기반 위에 다시 올려놓을 길을 열겠다고 약속했습니다.
Principia는 널리 수학자들의 환영을 받았습니다. 쿠르트 괴델이 면밀히 조사할 때까지 말입니다. 1931년, 은둔형 천재는 Principia뿐만 아니라 논리 자체에서도 큰 결함을 발견했습니다. 괴델이 극복할 수 없다고 증명한 근본적인 결함 말입니다. 절대 말입니다.
괴델의 폭탄 선언은 두 부분으로 발표되었으며, 현재 일반적으로 불완전성 정리라고 불립니다. 여기 그들을 약간 기술적인 방법으로 설명해 보겠습니다:
산술의 모든 진실을 설명할 만큼 강력한 논리의 형식 시스템이 주어지면, 그것은 불완전하거나 (증명할 수 없는 진실이 있을 것이다) 또는 모순될 것이다 (모순에 감염되어 완전히 신뢰할 수 없을 것이다).
당신의 마음이 다시 팽팽 돌고 있습니까? 그래야 합니다.
괴델의 정리를 설명하는 더 간단한 방법이 있습니다. 복잡한 주제에 대해 논리적으로 생각하려고 할 때마다, 다음 두 가지 중 하나가 항상 발생할 것입니다:
가능성 #1: 당신은 진정으로 참인 것을 말하고 믿겠지만, 결코 그것을 증명할 수 없을 것입니다. 아무리 열심히 노력해도 논리는 당신을 실패시킬 것입니다. 왜냐하면 논리는 그 일을 할 만큼 충분히 강력하지 않기 때문입니다.
스위스계 미국인 논리학자 베레나 후버-다이슨은 "진실에는 증명으로 포착할 수 있는 것보다 더 많은 것이 있다"고 말했습니다. 저는 단순히 "진실은 증명보다 더 크다"고 말하는 것을 선호합니다.
가능성 #2: 당신은 겉으로는 완벽한 논리를 사용하여 어떤 것이 참이라고 증명할 것입니다. 하지만 사실은 그렇지 않습니다. 당신의 논리가 엄격해 보일지라도, 그렇지 않습니다. 그것은 은밀한 모순으로 가득 차 있습니다.
저명한 미국 수학자 모리스 클라인은 그의 교과서 "비수학자를 위한 수학"에서 "논리는 자신감을 가지고 잘못하는 기술이다"라고 썼습니다.
가능성 #2는 프레게의 문제였고, 이제 괴델이 증명했듯이 러셀과 화이트헤드의 문제이기도 했습니다. 얼마나 쓰라린 아이러니입니까.
비탄에 잠긴 러셀은 자신이 의도치 않게 괴델의 파괴적인 업적을 가능하게 하고 확인했다는 것을 재빨리 깨달았습니다. 30년 전에 러셀은 고틀로프 프레게의 작품에서 느슨한 실을 발견했습니다. 이제 괴델은 그것을 제대로 잡아당겼습니다. 그렇게 함으로써, 그는 Principia뿐만 아니라 수학적 증명의 개념 자체를 풀었습니다.
러셀은 충격을 받았습니다. 수학자로서만이 아니었습니다. 그는 항상 기꺼이 기독교와 다른 종교를 맹렬히 비난하는 독실하고 솔직한 무신론자였습니다. 마치 오늘날 리처드 도킨스가 하는 것처럼 말입니다. 1927년, 그는 심지어 "내가 기독교인이 아닌 이유"라는 제목의 에세이를 쓰는 수고를 감수했고, 그 안에서 그는 그의 무신론에 대한 설득력 있는 옹호를 제시했습니다.
그런 이유로, 당신은 러셀이 걸어 다니고 말하는 논리적 모순이라고 말할 수 있습니다. 무신론 이외의 다른 종교를 맹렬히 비난하면서, 그는 논리와 수학에 광신적이고 종교적인 믿음을 두었습니다. 잘못된 믿음은 괴델이 이제 철저히 그리고 돌이킬 수 없이 파괴했습니다.
"저는 사람들이 종교적 신앙을 원하는 방식으로 확실성을 원했습니다."라고 노년의 러셀은 "기억의 초상화"에서 애도했습니다. "저는 확실성이 다른 곳보다 수학에서 더 발견될 가능성이 높다고 생각했습니다. 하지만... 약 20년 동안의 매우 힘든 노력 끝에, 저는 수학적 지식을 의심의 여지가 없도록 만드는 방법으로 더 이상 할 수 있는 것이 없다는 결론에 도달했습니다."
오늘날, 괴델의 불완전성 정리의 의미는 수학 섬의 해안 너머로 잘 퍼져나가고 있습니다. 여기 세 가지 예시가 있습니다.
첫째, 괴델의 정리는 모든 것의 이론(TOE) - 예를 들어, 물리학의 성배인 대통일 이론(GUT)에 대한 믿음을 심각하게 훼손합니다. GUT는 자연의 네 가지 알려진 힘, 즉 중력, 전자기력, 강력, 약력을 단일하고 일관성 있는 설명으로 제공하는 것을 목표로 합니다.
아인슈타인은 그의 마지막 몇 년을 GUT를 찾는데 맹렬하게 쏟았지만, 그는 실패했습니다. 실제로, 논리가 산술, 더 나아가 우주를 설명할 만큼 충분히 강력하지 않다는 것을 증명함으로써, 괴델의 정리는 모든 종류의 논리적으로 자기 모순이 없는 TOE를 추구하는 것이 요정의 존재를 믿는 것만큼이나 망상적이라는 것을 가르쳐 줍니다.
둘째, 괴델의 정리는 "신은 존재한다"는 진술이 논리적으로 참이지만 증명할 수 없다는 것을 쉽게 허용합니다. 기억하십시오: 진실은 증명보다 더 큽니다.
달리 말하면: 논리가 제정신을 잃지 않고 산술조차 다룰 수 없다면, 1+1=2보다 약간 더 복잡한 주제인 신에 대한 논쟁을 해결할 가능성은 없습니다.
셋째, 괴델의 정리는 수학 섬이 믿음의 바다에 떠 있다는 것을 확인해 줍니다. 사업을 하려면, 수학자들은 무엇보다 먼저 증명되지 않았고 증명될 수 없는 공리를 믿어야 합니다.
유클리드, 프레게, 러셀처럼 아무리 뛰어난 수학자도 일련의 가정에 믿음을 두지 않고는 논리적인 주장을 만들 수 없습니다.
최악의 경우, 그 가정은 잘못된 믿음에 의해 추진되어 프레게와 러셀이 고통스럽게 발견한 것처럼 재앙적인 결과를 초래할 것입니다. 최상의 경우, 그들은 유클리드와 괴델이 발견한 것처럼 깨달음을 얻은 믿음에 의해 추진될 것입니다.
어느 쪽이든, 괴델의 정리는 수학이 믿음에 기초한 학문이라는 것을 논리를 사용하여 증명합니다. 원칙적으로, 어떤 종교와도 다르지 않습니다.
"만약 '종교'가 증명할 수 없는 진술을 포함하는 사상 체계로 정의된다면," 뛰어난 케임브리지 대학 수학자 존 배로우는 "능수능란한 우주"에서 "괴델은 수학이 종교일 뿐만 아니라 스스로 종교임을 증명할 수 있는 유일한 종교라고 가르쳐 주었다"고 말합니다.
수학자들은 아리스토텔레스의 논리와 유클리드의 기하학을 존경했지만, 그들은 궁금해했습니다: 그것이 가능한 유일한 논리일까? 그것이 가능한 유일한 기하학일까?
정답은 아니요입니다. 가능한 논리와 가능한 기하학은 많이 있습니다. 각각은 다른 공리 또는 믿음에 달려 있습니다.
아리스토텔레스의 핵심 믿음 중 하나는 배중률(POEM)이라고 불립니다. 그것은 어떤 것이 참이거나 거짓이라고 믿습니다. 중간은 없습니다.
그러나 POEM에 대한 합리적인 대안은 많이 있으며, 수학자들은 그것들을 사용하여 진정한 비아리스토텔레스 논리를 만들어 냈습니다. 예를 들어:
삼가치 논리는 어떤 것이 참, 거짓 또는 알 수 없다고 믿는 것에 기초합니다.
사값 논리는 어떤 것이 참, 거짓, 참이자 거짓 또는 알 수 없다고 믿는 것에 기초합니다.
퍼지 논리 (네, 그것이 그것의 이름입니다)는 어떤 것이 무한한 수의 진리값을 가질 수 있다고 믿는 것에 기초합니다. 즉, 어떤 것은 0에서 100% 참일 수 있습니다.
퍼지 논리는 뉘앙스가 있고 흑백이 아닌 방식으로 갑작스러운 상황 전개에 반응해야 하는 전자 장치를 프로그래밍하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 잠금 방지 브레이크를 제어하는 컴퓨터 칩입니다.
퍼지 마인드를 가진 칩은 많은 다른 요인의 진리값을 따져서 브레이크를 얼마나 세게 밟을지 결정해야 합니다. 그들은 "차의 속도, 브레이크 압력, 브레이크 온도, 브레이크 적용 간격, 차의 측면 운동 각도와 전방 운동 각도"를 포함합니다.
너무나 많은 종류의 논리의 발견은 오래전에 아리스토텔레스의 웅장한 업적을 무너뜨렸습니다. 프린스턴 대학의 수학자 에드워드 넬슨은 "아리스토텔레스의 논리는 수학에 부적합합니다. 그것은 이미 그의 시대의 수학에 부적합했습니다"라고 설명했습니다.
아야!
요즘 공개적으로 비판적 사고의 중요성에 대해 많은 이야기가 있습니다. 학생들이 비판적 사고를 배우도록 가르치는 것에 대해서도 말입니다. 저는 이것에 전적으로 동의합니다.
하지만 수학에서 놀라운 상황 전개를 감안할 때, 당신은 비판적 사고가 이제 단순히 논리적 사고보다 훨씬 더 다양하고 복잡한 것을 의미한다는 것을 이해해야 합니다.
아리스토텔레스의 원래 레시피는 현명하게 추론하고, 진실을 안정적으로 얻는 수많은 방법 중 하나일 뿐이며, 가장 강력하거나 가장 계시적인 방법도 아닙니다. 정보를 잘 아는 사람들 사이에서, 평범한 아리스토텔레스 논리는 이값 명확 논리, 즉 비판적 사고의 모델 T 범주에 속합니다.
유클리드의 기하학에도 비슷한 운명이 닥쳤습니다.
유클리드의 핵심 공리 중 하나는 평행선은 무한대로 확장하더라도 교차하지 않는다는 것입니다.
그러나 이것은 곡면이 아닌 평면에만 해당됩니다. 그 단일한 깨달음은 비유클리드 기하학의 폭발적인 증가를 가져왔습니다. 예를 들어:
구면 기하학은 지구와 같은 둥근 표면에 적용됩니다. 경선은 평행선의 역할을 하며, 이는 서로를 향해 점차 구부러져 극에서 수렴합니다.
쌍곡선 기하학은 안장 모양의 표면에 적용됩니다. 이러한 세계에서 평행선은 서로 멀어지는 새 떼처럼 발산합니다.
리만 기하학(19세기 독일 발명가 게오르크 프리드리히 베른하르트 리만의 이름을 따서 명명됨)은 4, 5, 6차원 이상의 표면에 적용됩니다. 이러한 표면은 평평하거나 구형이거나 쌍곡선일 수 있습니다.
다차원 리만 표면은 우리가 보거나 상상할 수 없습니다. 유클리드의 심오하고 초논리적인 점의 개념과 마찬가지입니다. 그들은 인간의 SQ의 장엄하고 불가해한 산물입니다.
게다가 유클리드의 점처럼 리만 표면은 매우 유용하다는 것이 입증되었습니다. 아인슈타인은 일반 상대성 이론에서 중력의 행동을 설명하기 위해 4D 리만 표면을 사용합니다. 그것은 세 개의 공간 차원 (위/아래, 오른쪽/왼쪽, 앞/뒤)과 하나의 시간 차원을 가지고 있습니다.
수년에 걸쳐, 실험은 아인슈타인의 이론을 반복적으로 확인했습니다. 이것은 이론뿐만 아니라 그것이 의존하는 리만 표면도 깨달음을 얻은 IQ-및-SQ 기반 믿음의 창조물임을 의미합니다.
아인슈타인은 4D 리만 세계, 기하학적 점, 양자 진공, 가상 입자 등과 같은 터무니없고 초논리적인 수학적 공리와 개념에 의존하는 과학 이론이 역사상 놀라운 성공을 거둔 것에 놀랐습니다. "결국 인간의 사고의 산물이자 경험과 독립적인 수학이 현실의 대상에 그토록 훌륭하게 적합할 수 있다는 것은 어떻게 가능할까요?"
몇 년 전 루이지애나 주립 대학에서 물리학 세미나에 참석하는 동안, 저는 전설적인 헝가리계 미국인 수학자이자 노벨상 수상자인 유진 위그너와 며칠을 보냈습니다.
위그너는 SQ에 관한 저의 추측에 대해 아무것도 몰랐지만, 그 나름대로 수학은 논리 규칙, 기계와 같은 사고방식뿐만 아니라 단순한 IQ를 초월하는 초지능의 계시와 속삭임에 의해 추진되는 것으로 보인다는 것을 인식했습니다.
1960년에 발표된 에세이에서 위그너는 "자연 과학에서 수학의 엄청난 유용성은 신비에 가까우며... 그것에 대한 합리적인 설명은 없습니다"라고 관찰했습니다.
수학적 증명이 손으로 확인하고 이중 확인할 수 있을 만큼 충분히 짧았던 시절이 있었습니다. 고등학교 기하학 수업에서 제가 했던 수백 개의 증명이 그러했습니다. 그리고 제 선생님은 제가 틀린 증명의 모든 단계에 대해 제 성적을 깎았습니다. 저는 그때는 깨닫지 못했지만, 그러한 광적인 엄격함에 노출된 것이 저의 과학 훈련의 진정한 시작이었습니다.
고등학교 기하학 수업의 증명은 여전히 간단하고 좋습니다. 하지만 전문적인 고급 수학에서는 그러한 시절은 오래전에 사라졌습니다.
당신이 가리켜서 "거기! - 그것이 끔찍한 변화가 일어난 때입니다"라고 말할 수 있는 시간의 단일 변곡점은 없습니다. 하지만 1993년까지 과학 저널리스트 존 호건이 "증명의 죽음"이라는 제목의 이야기를 냈을 때, 수학에서 명확함의 시대는 공룡처럼 사라졌다는 것이 분명했습니다.
"수천 년 동안 수학자들은 일련의 논리적 단계가 일련의 공리에서 반박할 수 없는 결론으로 이어지는 증명을 통해 무엇을 입증할 수 있는지에 대한 측면에서 발전을 측정해 왔습니다"라고 호건은 사망의 종을 울리며 썼습니다. "이제 현대 인간 사고를 갉아먹는 의심이 마침내 수학을 감염시켰습니다."
호건의 기사는 1993년에 발표되었습니다. 왜냐하면 그가 350년 된 수학적 미스터리인 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 주장한 영국 수학자 앤드루 와일즈가 바로 그때였기 때문입니다. 주장된 증명은 수백 페이지나 되었기 때문에 그것을 검토하는 것은 쉬운 일이 아니었습니다. 설상가상으로 수학자들이 마침내 그렇게 하는 데 성공했을 때, 그들은 심각한 오류를 발견했습니다.
와일즈에게는 다시 도면판으로 돌아가는 것이었습니다.
1년 후, 그가 오류를 수정했다고 주장했을 때, 그의 동료들은 당연히 회의적이었습니다. 그러나 존경받는 수학자 배심원이 최종적인 긴 증명을 면밀히 검토한 후, 와일즈의 역사적인 노력을 확인했고, 그것은 1995년에 출판되었습니다.
저는 굿모닝 아메리카에서 그것에 대한 이야기를 했습니다. 저는 프린스턴 대학으로 날아가 수학의 새로운 시대를 예고한 사람을 인터뷰했습니다. 점점 더 커지는 불확실성으로 고통받는 시대입니다.
그 이후로 위기는 더욱 악화되었습니다. 증명이 그 어느 때보다 길고 확인하기 어려울 뿐만 아니라, 점점 더 많은 증명이 컴퓨터의 도움으로 생성되고 있습니다. 이것은 현대 수학에 훨씬 더 많은 불확실성과 검증 불가능성을 도입하고 있습니다.
스탠포드 대학의 영국 수학자 키스 데블린은 "우리는 지금 수학의 큰 진술이 너무 복잡해서 그것이 참인지 거짓인지 결코 알 수 없을 시대에 불가피하게 놓여 있다고 생각합니다"라고 말합니다. "그것은 우리를 다른 모든 과학자들과 같은 배에 태웁니다."
이 글을 쓰는 시점에서, 역사상 가장 긴 수학적 증명은 2016년에 세 명의 인간과 오스틴에 있는 텍사스 대학의 11,000제곱피트 건물에 있는 슈퍼컴퓨터에 의해 생성되었습니다. 슈퍼컴퓨터인 스탬피드는 3메가와트의 전력을 소비하는 전자 거물입니다.
스탬피드 외 2016년의 기록을 세운 증명은 200테라바이트 길이입니다. 그것은 미국 의회 도서관 전체와 같은 디지털 용량입니다. 그것을 읽기만 해도 100억 년 (거의 우주의 나이)이 걸릴 것이고, 각 단계를 검증하는 데는 훨씬 더 오래 걸릴 것입니다.
신화적인 수학 섬이 현재 떠 있는 믿음의 바다는 누구도 상상할 수 없을 정도로 훨씬 더 깊고 넓습니다. 확실히 아리스토텔레스와 유클리드는 일어난 일의 어느 것도 예상하지 못했습니다.
하지만 그것은 100% 믿음이 없는 증명의 존재를 믿을 만큼 잘못 인도된 사람들에게만 나쁜 소식입니다. 그런 것은 존재하지 않거나 수학 섬에 존재한 적이 없습니다. 빅풋이 어디에도 존재하지 않고 결코 존재하지 않았던 것처럼 말입니다.
맞습니다. 우리가 방금 본 것처럼, 수학이 떠 있는 믿음의 바다는 증명할 수 없고, 상상할 수 없고, 초논리적이고, SQ 기반 믿음으로 가득합니다.
단순한 IQ를 거부하는 믿음.
기이한 진실성으로 실제 세계를 설명하는 믿음.
그것들의 놀라운 계시를 보려면 당신이 받아들여야 하는 믿음.