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哎，大家好。说到数学啊，大家是不是觉得它特别严谨，特别靠谱？好像啥都能证明，啥都能算出来，对不对？而且吧，很多人觉得数学是完全不需要信仰的，一切都靠逻辑嘛。但其实啊，我今天要说的，可能要颠覆一下大家的认知。作为一名数学工作者，我可以很负责地告诉大家，根本不存在什么完全不需要信仰的证明。真的，整个数学，包括那些看起来无比严谨的证明，其实都是建立在一个巨大的信仰之海上的。
你想啊，我们的思维是有限的，但是可能性却是无限的。而人生的意义，就在于尽可能地去理解和把握这些无限的可能性。哎，这话听起来有点玄乎，但跟数学的本质其实挺像的。
话说回来，以前啊，有个哥们在Stack Exchange上问了个问题，就是“数学证明需要信仰吗？” 结果呢，被论坛里的数学爱好者们给喷惨了。大家都觉得这个问题太荒谬，太侮辱数学了。但是啊，咱们今天就要好好聊聊这个话题。
咱们先回到两千多年前的雅典和亚历山大。认识两个厉害的年轻人，亚里士多德和欧几里得。亚里士多德呢，发明了逻辑学，这玩意儿特别强调推理和论证。他搞出了一种叫做三段论的东西，比如说：“所有的乌鸦都是黑色的，埃德加是只乌鸦，所以埃德加是黑色的。” 听起来是不是挺严谨的？但是啊，第一句话，“所有的乌鸦都是黑色的”，就是一个公理，一个假设，一个需要你去相信的东西。它没法证明，但是如果你相信它，你就能得出关于埃德加的重要结论。记住，相信就是看见嘛！
再说欧几里得，他呢，受到亚里士多德逻辑的启发，用逻辑推导出了整个平面几何。但是啊，他用了不少于33条公理，这些公理都是他没法证明的。比如说，欧几里得的几个“公设”，像什么“等于同量的量彼此相等”，“如果等量加等量，则总量仍相等”，这些看起来是不是很明显？但是你想过没有，为什么它们这么明显？
其实啊，是因为你可以用一些简单的实验来验证它们，比如用算珠啊，用小石头啊什么的。这些都是很容易相信的。但欧几里得还有一些其他的公理，就不那么明显了，甚至有点让人摸不着头脑。比如，他把点定义为没有宽度、没有深度、没有长度的东西。这既是存在，又是不存在！这像不像量子真空？
一个点，你没法想象它是什么样的。它不符合逻辑，你甚至看不到它。你试试在脑海里想象一个点，你能想象出来吗？反正我是不行。但是啊，欧几里得用这个点，证明了整个平面几何。
是不是有点晕？没关系，咱们再想想。在之前的章节里，我们提到了裂脑人乔。他看不到眼前的煎锅照片，但是当他闭上眼睛，他的右脑就能感知到这个煎锅，然后他就能画出一个简笔画的煎锅。
这跟欧几里得的点其实是一样的。你的眼睛看不到它，你的智商理解不了它，你的想象力也无法想象它。但是你的右脑，通过一种直觉，就能感知到它。然后，借助右脑的帮助，你就可以画出一个简笔画的点。
欧几里得对那些不符合逻辑、看不到、甚至无法想象的公理，有着一种宗教般的信仰。这种信仰，最终成就了他的伟大，让他彻底改变了数学。两千多年来，我们一直用欧几里得几何来盖桥梁、盖摩天大楼、设计房屋，甚至计算飞向月球的轨道。据说，欧几里得几何课本的销量，仅次于《圣经》。
所以你看，建立在信仰之上的逻辑，可以是很强大的。但是啊，逻辑的力量是无限的吗？当然不是，逻辑是有局限性的。而且这个局限性，还非常大。
接下来啊，咱们要讲一个更让人震惊的故事。这个故事的主角是德国逻辑学家弗雷格。他想做 arithmetic，就是数论，也想像欧几里得那样，用一些公理来证明所有的算术定理。他提出了六条公理，比欧几里得的33条少多了。他觉得这些公理可以让他证明所有的算术定理，包括1+1=2。他辛辛苦苦搞了好多年，终于在1893年出版了他的巨著《算术基本定律》的第一卷。
九年后，他完成了第二卷。但是啊，就在他准备把稿子交给出版社的时候，他收到了一封来自英国数学家罗素的信。罗素在信里告诉弗雷格，他在第一卷里发现了一个错误，而且是一个致命的错误。
罗素发现，弗雷格的第五条公理，也就是关于集合的定义，有问题。集合在数学里很重要，必须仔细定义。比如说，地球上所有活着的人，就是一个集合。这个集合包含了所有，而且只包含了那些没有死的人。很简单，对吧？
但是，现在想象有一个村庄，村里所有的男人都刮胡子。其中有一个理发师，他夸口说：“我给所有，而且只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。” 那么问题来了：理发师给自己刮胡子吗？
别急着回答，这问题很tricky。如果你说理发师给自己刮胡子，那就跟他说“我只给不给自己刮胡子的人刮胡子”矛盾了。如果你说理发师不给自己刮胡子，那就又跟他说“我给所有不给自己刮胡子的人刮胡子”矛盾了。
所以你看，这个问题没有逻辑上的答案。逻辑在这里完全失效了。
再举个例子。这句话是真的还是假的：“这句话是假的。” 如果这句话是真的，那么它就是假的。如果这句话是假的，那么它就是真的！逻辑又一次失控了，把我们卷入了一个循环论证的漩涡，根本没法逃脱。
这就是罗素发现的弗雷格逻辑里的漏洞。弗雷格当时都懵了，他说：“你发现的这个矛盾让我震惊得说不出话来，它动摇了我用来构建算术的基础。”
1903年，弗雷格还是出版了他的第二卷，但是加了一个悲伤的声明：“对于一个科学作者来说，没有什么比在作品完成后发现其基础被动摇更不幸的了。我正处在这样的境地，这多亏了罗素先生的一封信，当时这本书的印刷已经接近尾声。”
弗雷格再也没有出版他的第三卷，也没再发表什么重要的作品。到了1923年，他彻底放弃了用逻辑证明算术的想法。1925年，他在相对默默无闻中去世了。但是现在，他被誉为一位杰出的逻辑学家。
不仅仅是弗雷格，所有的数学家都被这件事给吓到了。到了1925年，著名数学家希尔伯特承认：“我们现在遇到的悖论，是无法容忍的。想想看，大家在数学中学到的定义和推导方法，这些真理和确定性的典范，竟然会导致荒谬！如果数学思维是有缺陷的，我们还能在哪里找到真理和确定性呢？”
希尔伯特鼓励他的同事们不要失去希望。他说，这些悖论只是错误公理的症状，弗雷格的第五条公理就是一个例子。解决办法，就是更仔细地选择公理，选择那些更明智、更一致的公理。
数学家们积极响应希尔伯特的号召，包括罗素和他的同事怀特海。1910年，他们出版了《数学原理》的第一卷，希望能为数学重建一个坚实的逻辑基础，摆脱所有的悖论。
《数学原理》受到了广泛的赞誉，直到哥德尔出现。1931年，这位天才发现了一个大问题，不仅仅是《数学原理》的问题，而是逻辑本身的问题。哥德尔证明，这个缺陷是无法克服的。
哥德尔的发现发表成了两部分，现在被称为“不完备性定理”。简单来说就是：任何强大到足以描述所有算术真理的逻辑系统，要么是不完备的（存在它无法证明的真理），要么是不一致的（存在悖论，因此完全不可靠）。
是不是又晕了？没关系，再简单解释一下。当你尝试用逻辑思考一个复杂的问题时，总会发生以下两种情况之一：
第一种情况：你会说出一些你认为是真的，但你永远无法证明的东西。无论你多么努力，逻辑都无法帮助你，因为它不够强大。
逻辑学家休伯-戴森说：“真理比证明更丰富。” 我更喜欢说：“真理比证明更大。”
第二种情况：你会用看似严谨的逻辑证明一些东西是真的，但实际上，它并不是真的。即使你的逻辑看起来很严密，但它仍然存在一些隐藏的悖论。
数学家克莱恩在他的教科书《非数学家的数学》中写道：“逻辑是用自信的方式犯错的艺术。”
第二种情况，就是弗雷格遇到的问题。现在，哥德尔证明，这也是罗素和怀特海的问题。这真是太讽刺了。
罗素很快意识到，他既促成了哥德尔的发现，又验证了哥德尔的发现。三十年前，罗素在弗雷格的著作中发现了一个小漏洞。现在，哥德尔把这个漏洞狠狠地拉扯了一番，不仅解开了《数学原理》，还解开了整个数学证明的概念。
罗素崩溃了。他一直是一个坚定的无神论者，经常抨击基督教和其他宗教。1927年，他甚至写了一篇文章，叫做《我为什么不是基督徒》。
所以你看，罗素就是一个行走的逻辑悖论。他一边抨击其他的宗教，一边又对逻辑和数学抱有一种狂热的、宗教般的信仰。结果呢，哥德尔彻底摧毁了他的信仰。
晚年的罗素悲伤地说：“我想要一种确定性，就像人们想要宗教信仰那样。我以为在数学中更容易找到这种确定性。但是，经过大约二十年的辛勤劳动，我得出的结论是，我再也无法使数学知识变得无可置疑。”
现在，哥德尔不完备性定理的影响已经远远超出了数学的范围。比如说，它严重削弱了人们对“万物理论”的信念。万物理论试图用一个单一的、连贯的理论来解释自然界中已知的四种力：引力、电磁力、强力和弱力。
爱因斯坦晚年一直在寻找万物理论，但是他失败了。哥德尔的定理告诉我们，逻辑不够强大，无法描述算术，更不用说宇宙了。所以，追求任何逻辑上自洽的万物理论，都像相信牙仙一样荒谬。
另外，哥德尔的定理也表明，“上帝存在”这个命题有可能是真的，但是无法用逻辑证明。记住：真理比证明更大。
换句话说：如果逻辑连算术都搞不定，那就更不可能解决关于上帝的争论了。
还有，哥德尔的定理也证实了，数学建立在信仰之海上。数学家们要想做数学，首先必须相信那些未经证明，甚至可能无法证明的公理。
无论数学家多么聪明，无论他是欧几里得、弗雷格还是罗素，他都必须首先信仰一套假设，才能进行逻辑论证。
如果这些假设是基于错误的信仰，就会导致灾难性的结果，就像弗雷格和罗素痛苦地发现的那样。如果这些假设是基于明智的信仰，就会带来启发，就像欧几里得和哥德尔发现的那样。
总之，哥德尔的定理证明，数学是一门建立在信仰之上的学科，从本质上来说，它跟任何宗教没有什么区别。
剑桥大学数学家巴罗说：“如果把‘宗教’定义为一种包含无法证明的陈述的观念体系，那么哥德尔告诉我们，数学不仅是一种宗教，而且是唯一一种可以证明自己是宗教的宗教。”
即使数学家们很欣赏亚里士多德的逻辑和欧几里得的几何，他们也在思考：这是唯一的逻辑吗？这是唯一的几何吗？
答案当然是否定的。有很多种逻辑，有很多种几何。每一种都依赖于不同的公理或信仰。
亚里士多德的核心信念之一是“排中律”。它认为，一件事要么是真的，要么是假的，不存在中间状态。但是，有很多种合理的替代方案，数学家们用它们创造了各种各样的非亚里士多德逻辑。比如说：
三值逻辑认为，一件事可以是真、假或未知。
四值逻辑认为，一件事可以是真、假、既真又假或未知。
模糊逻辑认为，一件事可以有无数个真值。也就是说，一件事的真实程度可以是0%到100%之间的任何值。
模糊逻辑被用来编程那些必须以细微的、非黑即白的方式对突发事件做出反应的电子设备，比如防抱死制动系统中的计算机芯片。
这些模糊逻辑的芯片，需要通过权衡各种因素的真值，来决定刹车应该踩多大力。这些因素包括汽车的速度、刹车压力、刹车温度、刹车之间的间隔以及汽车横向运动与向前运动的角度。
这么多种逻辑的发现，早已颠覆了亚里士多德的逻辑的地位。普林斯顿大学数学家纳尔逊说：“亚里士多德的逻辑不足以支撑数学。即使在他那个时代，它也已经不足以支撑数学了。”
现在大家都在谈论批判性思维的重要性，谈论要培养学生的批判性思维。我完全同意这一点。但是，考虑到数学领域的惊人发展，你要明白，批判性思维现在意味着比单纯的逻辑思维更丰富、更复杂的东西。
亚里士多德的原始方法，只是明智地推理、可靠地获得真理的众多方法之一，而且它甚至不是最强大、最能揭示真相的方法。在知情人士看来，普通的亚里士多德逻辑属于二值清晰逻辑的范畴，就像批判性思维领域的Model T型汽车。
欧几里得几何也面临着类似的命运。欧几里得的核心公理之一是，平行线永远不会相交，即使延伸到无穷远。但是，这只适用于平面，而不适用于曲面。这个简单的认识，催生了大量的非欧几里得几何。比如说：
球面几何适用于球形表面，比如地球。经线扮演着平行线的角色，它们逐渐向彼此弯曲，并在两极汇合。
双曲几何适用于马鞍形表面。在这些表面上，平行线会发散，就像一群鸟从彼此身边飞走一样。
黎曼几何适用于四维、五维、六维以及更多维度的表面。这些表面可以是平面的、球面的或双曲的。
我们无法看到，甚至无法想象多维黎曼表面，就像无法想象欧几里得的点一样。它们是人类智慧的惊人产物。
而且，跟欧几里得的点一样，黎曼表面也被证明非常有用。爱因斯坦在广义相对论中使用四维黎曼表面来描述引力的行为。它有三个空间维度（上下、左右、前后）和一个时间维度。
多年来，实验已经反复证实了爱因斯坦的理论。这意味着，不仅该理论，而且它所依赖的黎曼表面，都是基于智慧和信仰的创造。
历史上，那些依赖于遥远的、不合逻辑的数学公理和概念的科学理论，比如四维黎曼世界、几何点、量子真空、虚粒子等等，都取得了惊人的成功，这让爱因斯坦感到惊讶。他说：“数学作为人类思想的产物，独立于经验，为什么能够如此完美地适用于现实世界？”
多年以前，我在路易斯安那州立大学参加一个物理学研讨会的时候，跟诺贝尔奖得主维格纳度过了几天。维格纳对我的猜测一无所知，但他以自己的方式认识到，数学的力量不仅来自逻辑规则，不仅来自机器般的思维方式，还来自一种超越智商的超级智慧的启示和耳语。
1960年，维格纳在一篇文章中指出：“数学在自然科学中的巨大用处，近乎神秘，而且……对此没有合理的解释。”
曾经啊，数学证明都很简短，可以手工检查。我高中几何课上做的几百个证明就是这样。如果我犯了一个错误，老师就会扣我的分。当时我并没有意识到，接触到如此严谨的训练，是我科学训练的真正开始。
现在的数学证明，越来越长，越来越难验证。而且，越来越多的证明都是在计算机的帮助下生成的。这给现代数学带来了更多的不确定性和不可验证性。
斯坦福大学数学家德夫林说：“我认为我们现在已经不可避免地进入了一个时代，数学中的大型陈述变得非常复杂，我们可能永远无法确定它们是真的还是假的。这让我们和其他科学家处境相同。”
在写这篇文章的时候，历史上最长的数学证明是在2016年产生的，它是由三个人和一台超级计算机共同完成的。这台超级计算机位于德克萨斯大学奥斯汀分校的一栋占地11000平方英尺的建筑物内。它消耗的电力高达三兆瓦。
这台超级计算机及其团队创造的创纪录证明，长度达到了200太字节，相当于整个美国国会图书馆的数字容量。仅仅阅读它就需要100亿年，验证它的每一步需要的时间就更长了。
所以你看，数学所建立的信仰之海，比任何人想象的都要深邃和广阔。当然，亚里士多德和欧几里得都没有预料到这些。
但这只是对那些错误地相信存在100%不需要信仰的证明的人来说，才是坏消息。在数学中，根本不存在这样的东西，就像根本不存在大脚怪一样。
我们已经看到，数学所漂浮的信仰之海，充满了无法证明、无法想象、不合逻辑的信仰。
这些信仰超越了智商。
这些信仰以惊人的真实性描述了现实世界。
如果你想见证它们惊人的启示，就必须拥抱这些信仰。哎，今天就先聊到这里吧，下次有机会咱们再深入探讨。再见！