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えーっと、もしここまでついてきてくれた人がいるなら、もう、基本的な物理学が提供する現在の世界の絵、その強みとか弱みとか、限界みたいなもの、それを理解するための要素は、全部揃ってると思うんですよ。
140億年前かな？弯曲した時空が生まれた、まあどうやって生まれたかは誰も知らないんだけど、今もね、膨張し続けてるんです。この空間ってのは、本当に存在する実体で、一種の物理的な場で、その動きはアインシュタイン方程式で記述できるんですよね。空間は、物質の引力の影響で曲がって、もし物質がすごく密集してると、空間はブラックホールに陥っちゃうんです。
物質っていうのは、1000億個の銀河に分布してて、それぞれの銀河が、また1000億個の星を含んでる。で、この物質は量子場で構成されてて、粒子として現れたり、例えば電子とか光子とかね。あるいは、波として現れたりする、テレビの画面とか太陽の光とか、星の光をもたらす電磁波とかね。
これらの量子場が、原子とか光とか、宇宙の全部を作ってる。すごく奇妙な物体で、その量子っていうのは粒子で、他の物質と相互作用するときだけ現れる。相互作用がないときは、一面の「確率の雲」みたいに広がってるんですよね。世界っていうのは、広大なダイナミックな空間の海に沈んでる、基本的な出来事の集まりで、まるで海の水みたいに、こう、うねってる。
この世界の絵と、それを具体化するいくつかの問題を通じて、僕らは、ほとんど全部の見えるものを記述することができるんです。
ほぼ、ね。何か見落としてるものがあるんじゃないかって。僕らが探してるのは、まさにそれなんです。この本の残りの部分で、見落とされた部分について議論していくつもりです。
このページをめくると、良いにつけ悪いつけ、皆さんは、僕らが確実に知ってる世界を通り過ぎて、まだ知らないけど、垣間見ようとしてる世界に向かおうとしてるんです。
このページをめくるっていうのは、信頼できる小さな宇宙船の保護から離れて、未知の世界に足を踏み入れるようなものですね。
時空は量子である。
僕らが物理世界を理解する上で、中心的な部分に、あるパラドックスが存在するんです。20世紀が僕らに残してくれた二つの宝、一般相対性理論と量子力学。世界を理解すること、そして今日の技術にとって、それはすごく豊かな贈り物なんですよね。前者からは、宇宙論とか天体物理学、それから重力波とかブラックホールの研究が発展しました。後者は、原子物理学とか核物理学、素粒子物理学、凝縮系物理学、その他多くの分野の基礎を築いたんです。
でも、二つの理論の間には、何かこう、すごく悩ましいものがある。両方とも正しいとは、少なくとも現在の形では、ありえない。なぜなら、それらは矛盾してるように見えるから。重力場の記述は、量子力学を考慮に入れてないし、場が量子場であるっていう事実を説明してない。量子力学の説明は、アインシュタインの方程式で記述される時空の弯曲を考慮に入れてないんです。
大学生が、朝に一般相対性理論の授業を受けて、午後に量子力学を学んだら、教授たちはバカだって結論を出したり、少なくとも、彼らがもう一世紀も交流してないんじゃないかって疑ったりしても、まあ、許されると思うんですよね。だって、朝には世界は弯曲した時空で、すべてが連続的だったのに、午後には、世界は不連続なエネルギー量子と、その中で相互作用する平坦な空間になるんですから。
パラドックスは、二つの理論が、どちらもすごく役に立つってことにあるんです。
すべての実験と検証で、自然は、ずっと一般相対性理論に「お前は正しい」って言い続けてるし、量子力学にも「お前は正しい」って言い続けてる。この二つの理論の基礎は、一見すると、全く相容れない仮定に基づいているにもかかわらず。明らかに、何か僕らがまだ発見してないものがあるんです。
ほとんどの場合、量子力学か一般相対性理論（あるいは両方とも）を無視することができるんです。月は大きすぎて、微小な量子的分離性の影響を受けないから、その運動を記述するときに、それを無視できる。一方で、原子は軽すぎて、空間を無視できないほど曲げることができないから、原子を記述するときに、空間の弯曲を無視できるんです。でも、場合によっては、空間の弯曲と量子の分離性が、どちらも影響を与えることがあって、これらの場合について、僕らはまだ確立された物理理論を持ってないんです。
ブラックホールの内部っていうのは、その一例だし、ビッグバンで宇宙に何が起こったかっていうのも、もう一つの例です。もっとわかりやすく言うと、僕らは、すごく小さなスケールで時間と空間がどのように機能するのか、よく分かってない。これらの場合、現在の理論は、僕らに合理的なことを何も教えてくれないので、困惑する。量子力学は、時空の弯曲を扱うことができないし、一般相対性理論は、量子を説明することができない。これが量子重力の問題なんです。
この問題は、もっと深く掘り下げることができる。アインシュタインは、空間と時間が、物理的な場、つまり重力場の表現形式であると理解してた。ニールス・ボーア、ハイゼンベルク、ディラックは、物理的な場が量子特性を持ってるってことを、よく分かってた。分離性、確率性、相互作用を通じて現れること。それゆえ、空間と時間も、これらの奇妙な属性を持った量子的な実体でなければならない。
それでは、量子空間って何だろう？量子時間って、一体何なんだろう？これが、僕らが量子重力と呼んでる問題なんです。五大陸の物理学者たちが、この難題を解決しようと努力しています。彼らの目標は、一つの理論、つまり一連の方程式を見つけること。現在の量子と重力の間の矛盾を解決するための方程式を。
これは、物理学が、二つの非常に成功した、しかし明らかに矛盾する理論に直面した、初めての経験じゃない。過去に、理論を統合するために行われた努力は、報われて、僕らの世界の理解は大きく飛躍した。ニュートンは、地球上の物体の運動を記述するガリレオの物理学と、天体の運動を記述するケプラーの物理学を統合して、万有引力を発見した。マクスウェルとファラデーは、電気と磁気の内容を一緒にして、電磁場の方程式を見つけた。アインシュタインは、ニュートン力学とマクスウェルの電磁場の間の著しい矛盾を解決するために、特殊相対性理論を確立して、さらにニュートン力学と特殊相対性理論の間の衝突を解決するために、一般相対性理論を創始したんです。
理論物理学者は、このタイプの矛盾を発見すると、すごく興奮する。これは絶好の機会だって。問題は、僕らが、上記の二つの理論を両立させる概念的な枠組みを構築できるかどうか、なんですよね。
量子空間と量子時間が何かを理解するためには、僕らはもう一度、物事を認識する方法を深く修正する必要がある。世界を理解するための基本的な原理を考え直す必要がある。アナクシマンドロスみたいに、地球が宇宙を飛んでいて、「上」と「下」が宇宙には存在しないって悟ったり、コペルニクスみたいに、僕らがものすごい速さで空を動いてるって理解したり、アインシュタインみたいに、時空が軟体動物みたいに押しつぶされて、時間の流れが場所によって違うって理解したり……僕らの知ってることと両立する世界観を探す中で、僕らの実在の本質についての見解は、もう一度変わる必要があるんです。
僕らの概念的な基礎が、量子重力を理解するために変わらなければならないって、最初に認識したのは、ロマンチックで伝説的な人物、マテヴェイ・ブロンシュテイン。スターリンの時代に生きて、最終的に悲劇的な死を迎えた若いロシア人。
マテヴェイ
マテヴェイは、レフ・ランダウの友人で、彼より少し若かった。ランダウは、後にソ連で最も優秀な理論物理学者になった。二人を知ってる同僚は、彼らの中で、マテヴェイの方が賢いだろうって言ってた。ハイゼンベルクとディラックが、量子力学の基礎を築いた時、ランダウは、量子の存在のために、場の定義は不完全であるって誤って考えた。量子のゆらぎが、空間の中のある一点（任意の小さな領域）での場の大きさを測定するのを妨げると考えたんです。賢いボーアは、すぐにランダウが間違ってることに気づいて、この問題を深く研究して、量子力学の影響を考慮に入れても、場（例えば電場）の定義は、依然として完全であるってことを証明する、すごく詳細な長文を書いた。ランダウは、すぐにこの問題を諦めた。
でも、ランダウの若い友人、マテヴェイは、これにすごく興味を持った。彼は、ランダウの直感は正確ではないけど、何かすごく重要なものを含んでいるって気づいた。ボーアは、量子電場が空間の中のある一点での定義は完全であるって証明した。マテヴェイはボーアの推論を繰り返して、それを重力場に適用した。この時、アインシュタインは、数年前に重力場の方程式を書いたばかりだった。そして、ここで、驚くべきことに、ランダウが正しかった。量子を考慮に入れると、ある一点での重力場の定義は、不完全なんです。
これを理解するための、すごく直感的な方法がある。もし、僕らが空間の中の、すごくすごく小さな領域を観察したいと仮定しよう。それを実現するためには、この領域に何かを置いて、僕らが見たい点をマークする必要がある。例えば、そこに粒子を置くとしましょう。ハイゼンベルクは、粒子を空間の中のある一点に、長い時間置いておくことはできないって考えた。すぐに逃げ出してしまう。僕らが粒子を置く領域が小さければ小さいほど、逃げ出す速度は大きくなる（これがハイゼンベルクの不確定性原理）。もし、粒子が逃げ出す速度が大きければ、多くのエネルギーを持つことになる。ここで、アインシュタインの理論も考慮に入れる。エネルギーは空間を曲げる。多くのエネルギーっていうのは、空間が大幅に曲がるってことを意味する。極小領域内の巨大なエネルギーは、空間を激しく弯曲させて、ブラックホールに崩壊させる。まるで、崩壊した恒星みたいに。でも、もし粒子がブラックホールに落ちてしまったら、僕らはそれを見ることができない。それを空間領域の参照点として使うことはできない。僕らは、空間の中の任意の小さな領域を測定することができないんです。なぜなら、もしそうしようとすると、その領域はブラックホールの中に消えてしまうから。
少し数学を加えるともっと正確になる。その結果は、普遍的な意味を持つ。量子力学と一般相対性理論を組み合わせると、空間の分割には限界があることがわかる。ある特定のスケール以下には、何も入ることができない。もっと正確に言うと、そこには何もないんです。
空間の最小領域はどれくらい小さいの？計算は簡単。僕らは、粒子が自分自身のブラックホールに落ち込む前の、最小のサイズを計算する必要がある。結果は明らかだ。最小の長さは、大体
平方根記号の下には、僕らがすでに遭遇した三つの自然定数がある。第二章で議論したニュートン定数Gは、引力の強度を決定する。第三章で相対性理論について議論したときに紹介した光速cは、広がり続ける現在を明らかにする。そして、第四章で議論したプランク定数hは、量子的分離性の尺度を決定する。この三つの定数の存在は、僕らが実際に、引力（G）、相対性理論（c）、量子力学（h）に関連するものを見ていることを証明している。
この方法で決定される長さLPは、プランク長と呼ばれている。ブロンシュテイン長と呼ばれるべきだったんだけどね、まあ、そういうもんです。数値的に言うと、大体10のマイナス33乗センチメートル。つまり、すごく小さい。
量子重力っていうのは、まさに、こういった極めて微小なスケールで現れるんです。僕らが議論してるスケールがどれだけ小さいのか、ちょっと概念をつかんでみよう。もし、クルミの殻を、観測可能な宇宙と同じくらい大きくなるまで拡大したとしても、プランク長を見ることはできない。そんなに拡大しても、プランク長は、拡大する前のクルミの殻の百万分の一なんです。こんなスケールでは、時間と空間の特性が変わってくる。それらは、違うものに変わる。「量子空間と量子時間」になる。この意味を理解することが問題なんです。
マテヴェイ・ブロンシュテインは、1930年代に、これを全部理解して、短いけどすごく啓発的な二つの記事を書いた。彼は、僕らの通常の観念では、空間を無限に分割可能な連続体として考えてるけど、量子力学と一般相対性理論を一緒に考えると、それとは相容れないって指摘した。
でも、問題がある。マテヴェイとレフは、忠実な共産主義者で、革命は人類を解放して、より良い社会を築くものだって信じてた。不公平がなく、僕らが世界中で見ることができる、増え続ける不平等がない社会を。彼らは、レーニンの忠実な信奉者だった。スターリンが権力を握った後、彼らは、皆当惑して、批判するようになった。反対の意を表明するようになった。彼らは、すごく穏やかだけど、公然と批判する文章を書いた。これは、彼らが望んでた共産主義じゃないって……
すごく厳しい時代だった。ランダウは耐え抜いて、すごく楽ではなかったけど、生き残った。マテヴェイは、僕らが時空についての観念を完全に変えなければならないってことを最初に悟った、その翌年に、スターリンの警察に逮捕されて、死刑判決を受けた。彼の死刑は、彼の実験のまさにその日に執行された。1938年2月18日。死んだ時、わずか30歳だった。
ジョン
マテヴェイ・ブロンシュテインの早すぎる死の後、多くの傑出した物理学者たちが、量子重力の難題を解決しようと試みた。ディラックは、人生の最後の数年間を、この問題に捧げて、新しい道を開拓して、多くの理念と技術を導入した。現在、量子重力の仕事の大部分は、これに基づいている。これらの技術のおかげで、僕らは時間の存在しない世界を記述する方法を知ってる。このことについては、後で説明する。ファインマンは、彼が電子と光子について発展させた技術を改造して、量子重力の文脈に適用しようとしたけど、成功しなかった。電子と光子は、空間の中の量子だけど、量子重力は、何か別のものなんです。空間の中を運動する「重力子」を記述するだけでは不十分で、空間そのものが量子化される必要があるんです。
一部の物理学者は、量子重力の難題を解決しようとする過程で、偶然にも他の問題を解決して、その結果ノーベル賞を授与された。二人のオランダ人物理学者、ヘーラルト・ホーフトとマルティヌス・ヴェルトマンは、1999年にノーベル賞を受賞した。彼らは、現在核力を記述するために使用されてる理論の一貫性を証明した。これらの理論は標準モデルの一部でもあるけど、彼らの研究計画は、実際には、量子重力のある理論の一貫性を証明しようとすることだった。彼らは、他の力についての理論研究を準備作業として扱った。この「準備作業」で彼らはノーベル賞を受賞したけど、自分自身の量子重力理論の一貫性については、証明を与えることができなかった。
このリストは続けることができる。それは、傑出した理論物理学者の名簿みたいだけど、敗者のリストみたいでもある。しだいに、何十年もの時間を経て、観念は明確になり、人々は袋小路に進むのを止めた。技術と一般的な概念が強固になり、成果は一つずつ積み重ねられるようになった。この進展の遅い構築作業に貢献した多くの科学者に、ここで言及するためには、すごく長いリストが必要になるだろう。彼らは皆、この作業に貢献してきた。
僕が言及したいのは、一人だけ、この共同研究の脈絡を統合した人物。卓越した、永遠に若いイギリス人、哲学者と物理学者、クリス・イシャム。僕がこの問題に夢中になったのは、彼の量子重力の問題についての記事を読んだ後だった。その記事は、この問題が、これほど難しい理由、僕らの空間と時間の概念が、どのように修正される必要があるのかを説明して、当時採用されていたすべての方法、得られた成果、出会った困難について、明確な概説を行った。当時僕は大学3年生で、空間と時間の可能性を最初から考え直すことにすごく魅了されて、その魅了は今も消えてない。ペトラルカが吟じたように、「弓弦が朽ちても、心の傷は癒えない。」
量子重力に最大の貢献をした科学者は、ジョン・ホイーラー。20世紀の物理学を跨ぐ伝説的な人物。彼はニールス・ボーアのコペンハーゲンでの生徒であり協力者だった。アインシュタインがアメリカに移住した後の協力者。教師としては、リチャード・ファインマンみたいな著名な人物を生徒に持っていた……ホイーラーは、常に20世紀物理学の中心にいた。彼は想像力に特別な才能を持っていて、「ブラックホール」という用語を作り出して、それを広めた。彼の名前は、量子時空をどのように考えるかについての初期の深い考察と結びついていて、しばしば数学よりも直感的だった。彼は、ブロンシュテインの経験から学び、重力場の量子的な性質は、微小なスケールで空間の概念を修正する必要があるって理解した。ホイーラーは、この量子空間の斬新な観念を構築するのに役立つ方法を探していて、僕らが電子を電子雲として考えるように、量子空間を重なり合った幾何学的な物体の集まりとして想像した。
すごく高いところから海を見ていると想像してみてほしい。巨大で広大な海、平坦で紺碧の海面が見える。次に、少し降りて、もっと近くでそれを見つめると、風が吹いて起こる波を見ることができる。さらに降りていくと、波が散らばって、海面が泡だらけになるのが見える。これが、ホイーラーが想像した空間の様子。
僕らのスケールは、プランク長よりはるかに大きいから、空間は滑らかだ。もし、僕らがプランクスケールまで深く潜っていくと、空間は壊れて、泡になる。
ホイーラーは、この空間の泡、異なる幾何学形状の確率波を記述する方法を探していた。1966年、彼のカリフォルニアに住む若い同僚、ブライス・デウィットが、解決策を提案した。ホイーラーは、可能な限り協力者と会うために飛び回った。彼は、ノースカロライナ州のローリー・ダーラム空港でブライスと会う約束をした。そこで、彼は数時間乗り継ぎの待ち時間があった。ブライスが来てから、彼に「空間の波動関数」の方程式を見せた。簡単な数学的なテクニックを使うと、それを得ることができた。ホイーラーは、これにすごく興味を持った。一般相対性理論の「軌道方程式」は、この会話を通じて生まれた。この方程式は、弯曲した空間の確率を決定することができる。長い間、デウィットはそれをホイーラー方程式と呼んでた。ホイーラーはそれをデウィット方程式と呼んで、他の人たちは、それをホイーラー・デウィット方程式と呼んだ。
このアイデアはすごく素晴らしくて、量子重力理論全体を構築するための基礎になったんだけど、方程式自体には、いくつかの問題があった。しかも、すごく深刻な問題があった。まず、数学的に、方程式の構造は本当に悪くて、もしそれを使って計算すると、意味のない無限大の結果が得られる。方程式は改善されなければならない。
さらに、この方程式を説明したり、その意味を理解したりするのも難しい。これらの悩ましい側面の中で、もう一つあるのは、方程式には時間っていう変数が含まれてないこと。もし、それには時間っていう変数が含まれてない場合、それを使って、時間の中で起こる事柄の進化をどのように計算するのか？物理学における力学の方程式は、一般的に時間変数tを含む。時間変数を含まない物理理論っていうのは、何を意味するんだろう？これから何年も、研究はこれらの方程式を中心に行われて、異なる方法で修正したり、その定義を改善したり、その可能性のある意味を理解しようと試みられるだろう。
輪の第一歩
1980年代が終わる頃、霧が晴れ始めた。ホイーラー・デウィット方程式のいくつかの解が、予想外に現れた。その数年間、僕はまず、ニューヨークのシラキュース大学でインド人物理学者アバイ・アシュテカールを訪問して、その後、コネチカット州のイェール大学でアメリカ人物理学者リー・スモーリンを訪ねた。その期間、熱烈な議論に明け暮れ、学問的な情熱に満ちていたのを覚えてる。アシュテカールは、ホイーラー・デウィット方程式をより簡単な形で書き換えた。スモーリンは、ワシントン・メリーランド大学のテッド・ジェイコブソンと一緒に、これらの奇妙な方程式のいくつかの解を最初に見つけた。
これらの解には、奇妙な特徴があった。それらは、空間の中の閉じた線、閉じた線っていうのは「輪」なんだけど、輪に依存してた。スモーリンとジェイコブソンは、それぞれの輪、つまりそれぞれの閉じた線のホイーラー・デウィット方程式の解を書くことができた。これはどういう意味なんだろう？後に輪量子重力として知られるようになった、最初の成果は、これらの議論から湧き上がってきた。ホイーラー・デウィット方程式のこれらの解の意味も、徐々に明確になってきた。これらの解に基づいて、自己矛盾のない理論が徐々に構築されていった。最初の研究成果に基づいて、この理論は「輪理論」と名付けられた。
現在、数百人の科学者が、この理論を研究していて、中国からアルゼンチン、インドネシアからアメリカまで、世界中に広がっている。徐々に構築されている理論は、輪理論または輪量子重力と呼ばれていて、僕らの後の章では、この理論を捧げるつもりだ。重力の量子理論研究では、それが唯一の方向ではないけど、僕が最も有望だと考えてるものだ。
空間の量子
前の章は、ジェイコブソンとスモーリンが発見したホイーラー・デウィット方程式の解で終わった。これらの解は、それ自体が閉じた線、つまり輪に依存してた。これはどういう意味なんだろう？
ファラデーの力線、電場の力を伝えて、ファラデーから見ると空間を満たしてる線、を覚えてるかな？「場」の概念の起源となった線？ホイーラー・デウィット方程式の解に現れる閉じた線っていうのは、重力場のファラデーの力線なんです。
でも、今、二つの新しい要素をファラデーの理念に加えなければならない。
一つ目は、僕らが扱ってるのが量子理論であるってこと。量子理論では、すべてが不連続だ。ファラデーの力線の無限に連続したクモの巣は、今、本物のクモの巣にすごく似ている。それには、有限の数の個別の線がある。ホイーラー・デウィット方程式の解を決定するそれぞれの線は、この網の中の一本の線を記述してるんです。
二つ目の新しい側面っていうのは、最も重要なことだけど、僕らが議論してるのは重力であるってこと。それゆえ、アインシュタインが理解したように、僕らは空間に侵入する場について議論してるのではなく、空間構造そのものについて議論してるんです。量子重力場のファラデーの力線っていうのは、空間を編む線なんです。
当初、研究はこれらの線、そしてそれらがどのように僕らの三次元物理空間を「編む」のか、に焦点を当ててた。人々は、空間の離散構造の直感的な初期図を、これによって描こうと試みた。
しばらくして、アルゼンチン人のホルヘ・プリンとか、ポーランド人のユレク・レヴァンドフスキみたいな若い科学者のインスピレーションと数学的な才能のおかげで、人々は、これらの解の物理学を理解するための鍵は、これらの線の交差点にあるって理解した。これらの点は「ノード」と呼ばれて、ノードの間の線は「リンク」と呼ばれてる。交差する線の一組は「グラフ」を形成する。つまり、リンクによって接続されたノードの組み合わせ。
計算によって、もしノードがなければ、物理空間は体積を持たないことが示された。言い換えると、空間の体積は、グラフのノードに存在する。線の中に存在するのではない。これらの線は、ノードに位置する個々の体積を「つなぎ合わせる」。
これから得られる量子時空図を完全に説明するには、長い時間が必要だった。正確な結果を得るためには、ホイーラー・デウィット方程式の不明瞭な数学を、十分に完全な構造に変換して計算する必要がある。グラフの物理的な意味を明らかにするための鍵は、体積と面積の範囲を計算することにあった。
体積と面積の範囲
任意の空間領域、例えば皆さんがこの本を読んでいる部屋を取ってみよう。この部屋はどれくらい大きいだろうか？部屋の空間の大きさは体積によって測定される。体積は空間の幾何学に依存する幾何学量なんだけど、空間幾何学っていうのは、アインシュタインが理解したように、また僕が第三章で記述したように、重力場なんだ。したがって、体積は重力場の属性で、部屋の壁の間にどれくらいの重力場があるかを表してる。でも、重力場は物理量で、すべての物理量と同じように量子力学の法則に従う。体積もすべての物理量と同じように、任意の値を取ることができず、特定の値しか取ることができない。僕が第四章で記述したように。もし皆さんが覚えてるなら、すべての可能な値の集合は「スペクトル」と呼ばれる。したがって「体積スペクトル」が存在するはずだ。
ディラックは、僕らにすべての物理量のスペクトルを計算できる公式を提供してくれた。体積スペクトルを計算するには、長い時間が必要だった。まず、公式で表現して、次に計算する、この過程はすごく手間がかかった。計算は1990年代半ばに完了して、結果は予想通りだった（ファインマンは、結果を知るまでは計算すべきではないって言った）。体積スペクトルは離散的だ。つまり、体積は「離散的な小さな包」でしか構成できない。これは電磁場のエネルギーと少し似てて、電磁場も離散的な光子で構成されてる。
グラフの中のノードは、体積の離散的な包を表してる。光子に関して言うと、特定の値しか取ることができず、ディラックの量子方程式を使って計算できる。
グラフの中のそれぞれのノードnは、それ自身の体積νnを持ってる。体積スペクトルの中の数字。ノードは物理空間を構成する基本的な量子で、グラフの中のそれぞれのノードは「空間の量子粒子」だ。現れる構造は。
リンクっていうのは、ファラデー力線の個々の量子だ。今、僕らはそれが表す意味を理解することができる。もし、僕らが二つのノードを二つの小さな「空間領域」として想像すると、この二つの領域は、微小な表面によって分けられる。この表面の大きさっていうのは、その面積になる。体積に続く二番目の量は、それぞれの線に関係する面積で、空間量子ネットワークの特徴を示している。
面積っていうのは、体積と同じように、物理量で、それ自身のスペクトルを持っていて、ディラックの方程式を使って計算できる。
面積は連続的ではなく、分立的だ。任意の小さな面積は存在しない。
空間は連続的に見えるけど、それは僕らがこれらの個々の空間量子のごく微小なスケールを知覚できないからにすぎない。まるで、僕らがTシャツの布地を注意深く見ると、それがすごく細い線で編まれてることに気づくみたいに。
僕らが部屋の体積が、例えば100立方メートルであるって言う時、僕らは実際には、空間の微粒子、それが含む重力場の量子、を数えてる。部屋の中では、この数値は、100以上の数字になるだろう。僕らがこの紙の面積が200平方センチメートルであるって言う時、僕らは実際には、紙全体のネットワークまたは輪のリンクの数を数えてる。この本の1ページの量子数っていうのは、大体70くらいの数字になるだろう。
長さ、面積、体積を測定するっていうのは、個々の要素を数えるっていう観念は、すでに19世紀にリーマン自身によって提案されていた。連続弯曲数学空間の理論を発展させた数学者として、リーマンは、離散的な物理空間が、連続空間よりも合理的であるってことを、ずっと前から知ってた。
要約すると、輪量子重力理論、あるいは輪理論は、かなり保守的な方法で、一般相対性理論と量子力学を統合してる。なぜなら、それはこれらの二つの理論以外の他の仮定を導入してないから。ただ、二つを両立させるために、書き換えただけ。でも、その結果は破壊的だ。
一般相対性理論は、空間が電磁場のようにダイナミックなもので、活動的な巨大な軟体動物で、弯曲したり伸びたりして、僕らはその中に住んでいることを教えてくれる。量子力学は、それぞれの場が量子で構成されてる、つまり、微細な分立構造が存在することを教えてくれる。したがって、物理空間は場として、量子で構成されてる。他の量子場の特徴を表す分立構造は、量子重力場の特徴も表していて、したがって空間の特徴も表している。僕らは、重力の量子が存在すると予測する。光の量子、電磁場の量子、そして量子場の量子である粒子が存在するように。でも、空間は重力場であり、重力場の量子は、空間の量子、空間の分離成分だ。
輪量子重力の中心的な予測は、空間が連続体ではなく、無限に分割可能ではないってこと。それは、最小の原子核の十億分の十億分の十分の一よりも小さい「空間原子」で構成されてるんです。
輪量子重力は、この空間の原子と分立量子構造を、正確な数学形式で記述してる。ディラック量子力学の一般的な方程式をアインシュタイン重力場に適用すると、この結果が得られる。
輪理論は、体積（例えば、与えられた立方体の体積）を強調する。任意に小さくすることができなくて、最小の体積が存在する。この最小体積よりも小さい空間は存在しない。最小体積の量子、つまり最も基本的な空間原子が存在する。
空間の原子
アキレウスと亀を覚えてるかな？ゼノンは、アキレウスが、この移動の遅い生物に追いつく前に、無限に多くの距離を走らなければならないって言った。この見解を僕らが受け入れるのは、少し難しい。数学は、この困難に対する一つの可能性のある解答を見つけた。無限に多くの徐々に減少する間隔の和は、有限の間隔に等しいってことを証明した。
でも、自然界では本当にそうなんだろうか？アキレウスと亀の間には、本当に任意に短い間隔が存在するんだろうか？1ミリメートルの十億分の十億分の十億分の十分の一について話して、それをさらに無限に分割することを、本当に意味があるんだろうか？
幾何学的な数量の量子スペクトルの計算は、答えは否定的であることを示してる。任意の小さな空間は存在しない。空間の可分性には下限があって、それはすごく小さいスケールだけど、確かに存在する。これがマテヴェイ・ブロンシュテインが、1930年代に直感的に悟ったことなんだ。体積スペクトルと面積スペクトルの計算は、ブロンシュテインの考えを裏付けて、正確な数学形式で表現した。
アキレウスは、亀に追いつくために無限に多くのステップを走る必要はない。なぜなら、有限の大きさの微粒子で構成された空間では、無限小のステップは存在しないから。英雄は、亀にますます近づいて、最終的に一度の量子的飛躍で追いつく。
でも、よく考えてみると、これはリュキッポスとデモクリトスが提案した解決策じゃないだろうか？彼らは、物質の分立構造について話した。僕らは、彼らが空間についてどのように議論したか、確信を持っていない。残念ながら、僕らは彼らのテキストを持っていない。他人が引用した少ない断片をかろうじて使うことができるだけ。これは、シェイクスピアの引用を使ってシェイクスピアの劇を再構築しようとするようなものだ。
アリストテレスが引用したように、デモクリトスは、連続体は点の集合として、それ自体が自己矛盾であるって推論した。この点は空間に適用できる。もし僕らがデモクリトスに質問する機会があったら、空間を無限に分割することに意味があるかどうか、僕の想像では、彼の答えは、分割には必ず限界がある、となるはずだ。アブディラの哲学者にとって、物質は分割不可能な原子で構成されていた。いったん、空間が物質にすごく似ていて、彼自身が言ったように、空間はそれ自身の属性と「特定の物理学」を持っていることを理解すると、彼は躊躇することなく、空間も分割不可能な基本単位でしか構成されないって推論するだろうと僕は思う。僕らは、ただデモクリトスの足跡を辿ってるだけかもしれない。
もちろん、僕は2000年間の物理学が無意味だった、実験と数学が無意味だった、デモクリトスが現代科学と同じくらい説得力があるって暗示してるわけじゃない。明らかに、僕はそういう意味じゃない。実験と数学なしでは、僕らはすでに理解してることを理解することができない。しかし、世界を理解するための概念モデルを発展させる際には、僕らは新しい理念を探索するだけでなく、過去の巨匠たちの力強いインスピレーションを借りる。デモクリトスはその一人で、僕らは彼の肩の上に立って、新しい知識を発見するんだ。
でも、量子重力に戻ろう。
スピンネットワーク
空間の量子状態を記述するグラフでは、それぞれのノードには体積vが、それぞれの線には半整数jが記されている。これらの追加情報を持ったグラフは、スピンネットワークと呼ばれている。物理学では半整数は「スピン」と呼ばれている。なぜなら、それらはスピンする物体の量子力学に現れるから。スピンネットワークは、重力場の量子状態、空間の量子状態を表してる。面積と体積は、離散的な分立空間だ。物理学の他の分野では、細いメッシュが連続空間を近似的に記述するために使用されている。ここでは、近似的に記述する必要のある連続空間はない。空間は本当に分立的なんです。
光子（電磁場の量子）とグラフの中のノード（重力の量子）の重要な違いは、光子が空間の中に存在するけど、重力子は空間そのものを構成してるってこと。光子はそれらが存在してる位置によって記述される。
空間の量子は、存在してる位置を持ってない。なぜなら、それらは位置そのものだから。一つの情報だけが、それらの空間的な特徴を記述することができる。それらは隣接してる、つまりすぐ隣にある他の空間量子、の情報。この情報は、グラフの中のリンクによって表される。リンクによって接続された二つのノードは、隣り合ってる二つのノードで、それらは互いに接触してる二つの空間微粒子で、この「接触」が空間の構造を構築してる。
重力の量子は空間の中に存在しない。それら自体が空間だ。重力場の量子構造を記述するスピンネットワークは、空間の中に存在しない。それらは空間を占拠しない。空間の個々の量の位置は、リンクとそれが表す関係によってのみ定義される。
もし、僕がリンクに沿ってある点から別の点まで歩いて、出発点に戻ってくるまで一周すると、僕は「輪」を完成させる。これが輪理論の最初の輪だ。第四章で僕は、閉回路を完成させる矢印の向きが元の方向なのか、偏ったのかを観察することで、空間の曲率を測ることができることを証明した。理論の数学的な側面は、スピンネットワークの中のそれぞれの閉回路の曲率を確定してる。これによって、時空の曲率の値を求めること、またスピンネットワークの構造に基づいて重力場の力を求めることが可能