Chapter Content
えー、皆さん、こんにちは。突然ですが、もしあなたが、その、人生における確実性、みたいなものを強烈に求めているとしたら、数学の世界って、最高の場所だって思いません？だって、そこではね、その、不確実性に対する万能薬、つまり、100%疑いのない証明、みたいなものが、日々、生み出されている…はず、ですよね？
…いや、違うんですよ。
確かにね、一部の数学者は、そういう、魔法の島みたいな場所で暮らすことを夢見ているかもしれません。亡くなったジュリア・ロビンソンっていう数学者は、数学者を、「地理的な出身地とか、人種とか、宗教とか、性別とか、年齢とか、さらには、時間、の区別もない、独自の国家を形成している」みたいに考えていたみたいですけどね。
でも、僕自身、数学者として、断言しますけど、その、疑いのない証明、なんてものは、存在しないんですよ。実際、これからお話しするように、その、数学の島、とか、証明、っていう概念自体が、広大な、信じる心、の海の上に浮かんでいるんです。数学は、証明できない、あるいは想像もできない、信念…多くの場合、超自然的な信念…に依存しているんですよ。
ただね、この事実を、その、声に出して言うのは、結構、リスキーなんです。2017年に、Stack Exchangeっていう、オンラインプラットフォームに質問した人が、それを痛感したみたいです。Stack Exchangeって、「知識、現実、存在の根本的な性質の研究に関心のある人のための、Q&Aサイト」を謳っているんですけどね。
その人は、そのフォーラムの数学コミュニティに、シンプルな質問をしたんです。「数学的な証明には、信じる心が必要ですか？」って。エンジニアとして、彼は、この質問が、深い議論を促すことを期待したみたいですけど、「ボロクソに叩かれた」って、言ってましたね。
数学的な証明には、信じる心が必要ですか？
正直な答えを求めて、24世紀前の、アテネとアレクサンドリアへ、一緒に旅をしてみましょう。そこで、マドンナとプリンスみたいに、シングルネームで通っている、2人の若き、やり手に出会います。アリストテレスと、ユークリッドです。
アリストテレスは、脳の左半球の申し子みたいな人で、その人が、論理のルールを、発明したばかりなんです。論理っていうのは、厳格な、新しい思考方法です。その典型が、三段論法っていうもので、こんな感じで機能します。
すべてのカラスは黒い。
エドガーはカラスである。
したがって、エドガーは黒い。
最初の文は、公理、つまり、仮定であり、前提であり、表明された信念です…できれば、啓発された信念、であってほしいですけどね。それは証明できません。でも、もしあなたが、それを信じるなら…もしあなたが、それを信じるなら…エドガーについて、何か重要なことを見抜くでしょう。覚えておいてくださいね。「信じることは、見ること」なんです。
アリストテレスの論理に畏敬の念を抱いている、若いユークリッドは、今まさに、それを利用して、平面幾何学、つまり、平面上の図形に関する研究、について知っておくべきことすべてを、演繹しようとしています。
そのためには、ユークリッドは、33個もの公理…彼が証明できない信念…を、前提としなければなりません。具体的には、23個の定義、5個の公準、そして、5個の、いわゆる、共通概念、があります。
共通概念は、こんな感じです。
あるものと等しいものは、互いに等しい。
等しいものに等しいものを加えると、全体も等しい。
等しいものから等しいものを引くと、残りのものも等しい。
互いに一致するものは、互いに等しい。
全体は部分より大きい。
どれも、かなり、当たり前のこと、ですよね？でも、自問してみてください。どうしてそうなのか？どうして、これらの特定の公理が、あなたにとって、そんなに、当たり前に思えるのか？
それは、それらが、あなたが、ビー玉とかビーズとかを使った、簡単な数え方の実験をすることで、簡単に検証できる、論理的な主張だからです。それらは、IQに基づいた信じる心さえあれば、信じられる、自明の理なんです。
でも、ユークリッドの、他の公理の中には、そんなに当たり前じゃないもの、そんなに論理的じゃないもの、そんなに自明じゃないもの、もあるんです。実際、それらは、完全に、当惑させるもので、SQに基づいた信じる心を、必要とします。
たとえば、ユークリッドは、点を、幅も、深さも、長さもないもの、と定義しています。それは、何かであり、同時に、何でもないんです！まるで、量子真空みたいに。
点は、意味がわかりません。論理的じゃないんです。それどころか、あなたが見たり、想像したりすることさえできません。
点について、首尾一貫した、心象風景を形成してみてください。無理でしょう。生きていて、同時に、死んでいるもの、黒くて、同時に、白いもの、真実で、同時に、偽りであるものを、想像できないのと同じです。
それでも、ユークリッドの点の定義は、ナンセンスではありません。ただ、無視することはできないんです。なぜでしょう？なぜなら、それは、深遠で、超論理的で、SQに基づいた公理であり、若い革新者が、平面幾何学の全体を証明するために、使用しているものだからです。
頭がクラクラしてきましたか？
6章で会った、分離脳患者のジョーのことを思い出してください。彼は、目の前に置かれたフライパンの写真を見ることができませんでした。でも、目を閉じると、彼の脳の右半球…その不思議な直感、つまりSQ…が、言葉もなく、彼に語りかけました。すると、ジョーは、即座に、フライパンの、粗末な絵をスケッチしたんです。
まったく同じ現象が、ここで、起こっています。ユークリッド的な点は、あなたの目には見えず、あなたのIQでは理解できず、あなたの想像力では、想像することさえできません。しかし、あなたの脳の右半球…SQによって動かされている…は、それを見えなくても、言葉がなくても、知覚することができます。そして、その助けと、研ぎ澄まされた鉛筆の助けを借りて、あなたは、その粗末な絵を描くことができるんです。
さて、現在に戻りましょう。
ユークリッドのSQ…論理的ではなく、見ることができず、想像することさえできない公理に対する、彼の宗教的な信仰…は、非常に啓発されたものであったため、彼は、数学に革命を起こしました。
2000年以上にわたって、私たちは、ユークリッドの歴史的な業績…彼の平面幾何学の、数え切れないほどの定理…を使って、橋や超高層ビルを建て、フロアプランを作成し、月や、その先の惑星への軌道を計算することに、成功してきました。そのため、ユークリッド幾何学の教科書は、聖書を除けば、世界中で最も多く販売され、読まれている、と言われています。
啓発された信じる心に基づいた論理は、強力である、ということを、ユークリッド幾何学は、見事に証明しています。しかし、論理の力には、限界があるのでしょうか？あるいは、今日、多くの人があなたに信じさせようとするように、それは全能なのでしょうか？
答えはノーです。論理は全能ではありません。限界があります。深刻な限界が、あるんです。
論理の、壮大な、没落の物語は、天才的なドイツの論理学者、ゴットロープ・フレーゲによって始まりました。彼は、ユークリッドになりたかったんです。ユークリッドが幾何学（図形に関する研究）に対して行ったことを、算術（数に関する研究）に対して行いたいと、切望していました。
フレーゲは、まず、6つの公理…ユークリッドの33個よりも、はるかに少ない数…を、明確にしました。これらは、彼が、1 + 1 = 2から始めて、算術のすべての定理を証明できると確信していた、信念でした。フレーゲは、何年もかけて、こつこつと作業を続け、ついに、1893年に、彼が3巻の傑作になるであろうと信じていたものの、第1巻を出版しました。「算術の基本法則」です。
9年後、フレーゲは、第2巻を完成させました。しかし、彼が原稿を出版社に提出しようとしたまさにその時、彼は、伝説的なウェールズの数学者、バートランド・ラッセルから、悪い知らせを受けました。
1902年6月16日付けの手紙で、ラッセルは、フレーゲに、彼が第1巻に誤りを発見したことを知らせました。タイプミスではなく、フレーゲの論理における、壊滅的な欠陥です。
技術的な詳細には立ち入りませんが、要点はこうです。ラッセルは、フレーゲの推論に問題があることを発見しました。その問題は、彼の第5公理に遡ります。第5公理は、グループ、つまり、集合のメンバーシップを定義します。集合は、数学では非常に重要であり、慎重に定義する必要があります。
たとえば、地球上の、すべての生きている人のグループは、地球上の、死んでいないすべての人を、含む集合です。簡単ですよね？
しかし、今度は、ひげを剃った男たちの村を想像してみてください。その中には、村でたった一人の理髪師がいて、彼は、「私は、自分自身でひげを剃らないすべての男のひげを剃る」と豪語しています。
質問です。自分自身でひげを剃るすべての男たちの集合について、何と言えますか？その集合には、理髪師は含まれますか？つまり、理髪師は、自分自身でひげを剃る男ですか？
急いで答えないでください。これは、難しい問題です。
もしあなたが、「はい、理髪師は自分自身でひげを剃る」と言うと、それは、彼が自分自身でひげを剃らない男だけを剃るという、理髪師の豪語と矛盾します。
もしあなたが、「いいえ、理髪師は自分自身でひげを剃らない」と言うと、それは、彼が自分自身でひげを剃らないすべての男のひげを剃るという、理髪師の豪語と矛盾します。
したがって、私の質問に対する、論理的な答えはありません。論理は、完全に、この謎を解き明かすことができません。
問題を別の方法で見てみましょう。質問です。この見出しは、真実ですか、それとも、偽りですか？
この文は偽りである。
もしその文が真実なら、それは偽りです。もしそれが偽りなら、それは真実です！
再び、論理は制御不能になり、私たちを、逃れることのできない、堂々巡りの推論の渦の中に吸い込みます。
それが、本質的に、ラッセルが発見した、フレーゲの論理の欠陥です。ご想像のとおり、ユークリッドになりたかったフレーゲは、茫然自失となりました。
「あなたの矛盾の発見は、言葉では言い表せないほど私を驚かせた」と、フレーゲはラッセルに書き返しました。「そして、ほとんど、雷に打たれたと言いたいほどです。なぜなら、それは、私が算術を構築しようとしていた地盤を揺るがしたからです」
1903年、フレーゲは、それでも、第2巻を出版しましたが、その中に、このような悲しげな免責事項を入れました。「科学的な著者が、作品が完成した後に、その建造物の基礎の1つが揺さぶられるほど、不幸なことはほとんどありません。これは、まさに、この巻の印刷が完了に近づいていた時に、バートランド・ラッセル氏の手紙によって、私が置かれた立場でした」
フレーゲは、彼の失敗作の第3巻を出版することはありませんでした。その後、16年間、ほとんど何も出版しませんでした。1923年までに、彼は、論理を使って算術を証明するという考えを完全に諦め、1925年7月26日に、比較的無名のまま亡くなりました…しかし、今日、彼は、並外れた論理学者であったとして、正当に賞賛されています。
フレーゲだけでなく、すべての数学者は、この恐ろしい事態の展開に、不安を覚えました。1925年までに、おそらく、20世紀で最も才能のある数学者であった、ダフィット・ヒルベルトは、「矛盾に直面する、現在の状況は、耐え難い。ちょっと考えてみてください。誰もが学び、教え、数学…真実と確実性の模範…で使用する定義と演繹的方法が、不条理につながっているのです！もし数学的な思考に欠陥があるなら、私たちはどこで真実と確実性を見つければいいのでしょうか？」と認めました。
一体、どこで？
ヒルベルトは、同僚に、希望を失わないように促しました。彼は、そのパラドックスは、単に、欠陥のある公理…フレーゲの第5公理は、その1つの原因でした…の兆候に過ぎない、と言いました。したがって、解決策は、より慎重に公理を選択することです…誤解されたものではなく、啓発されたもの…一言で言えば、自己矛盾のないもの、です。
数学者たちは、バートランド・ラッセルと、彼の優秀な上司である、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドを含む、ヒルベルトの痛切な反撃の叫びに、熱心に応えました。1910年、彼らは、（フレーゲを思い出させるように！）「プリンキピア・マテマティカ」と題された、計画された3巻の作品の第1巻を出版しました。それは、ついに、数学を、パラドックスのない、強固な論理的基盤に戻す道を切り開くことを約束しました。
プリンキピアは、広範囲にわたる数学者たちから歓迎されました…しかし、クルト・ゲーデルの精査を受けるまでは。1931年、その世捨て人の天才は、プリンキピアだけでなく、論理自体にも、大きな欠陥があることを発見しました。ゲーデルが証明した、根本的な欠陥は、克服することができません。永遠に。
ゲーデルの爆弾発言は、2つの部分で発表され、現在では、一般的に、不完全性定理と呼ばれています。それを、少し技術的に説明すると、次のようになります。
算術のすべての真実を記述するのに十分な強力な、形式的な論理システムが与えられた場合、それは、不完全（証明できない真実がある）であるか、または、矛盾している（パラドックスに感染し、したがって、完全に信頼できない）かの、いずれかになるでしょう。
再び、頭がクラクラしてきましたか？そうなるはずです。
ゲーデルの定理を説明する、より簡単な方法を、ご紹介します。複雑な主題について、論理的に考えようとすると、常に、次の2つのことのいずれかが起こります。
可能性1：あなたは、本当に真実である何かを言い、信じますが、それを証明することは、決してできません。どんなに頑張っても、論理はあなたを見捨てるでしょう。なぜなら、論理は、その仕事を遂行するほど強力ではないからです。
亡くなった、スイス系アメリカ人の論理学者、ヴェレナ・フーバー＝ダイソンは、こう言いました。「真実には、証明によって捉えることができる以上のものがある」私は、単に、「真実は、証明よりも大きい」と言う方が好きです。
可能性2：あなたは、一見、隙のない論理を使って、何かが真実であることを証明しますが、実際には、そうではありません。あなたの論理は厳密に見えても、そうではありません。それは、こっそりと、パラドックスに満ち溢れています。
著名なアメリカ人数学者、モリス・クラインが教科書「数学嫌いのための数学」で書いたように、「論理とは、自信を持って間違える技術である」
可能性2は、フレーゲの問題でした。そして今、ゲーデルが証明したように、それは、ラッセルとホワイトヘッドの問題でもありました。何という皮肉でしょう。
悲しみに暮れたラッセルはすぐに、自分が意図せずに、ゲーデルの壊滅的な業績を可能にし、正当化してしまったことに気づきました。30年前、ラッセルは、ゴットロープ・フレーゲの研究に、ほつれた糸を見つけました。そして今、ゲーデルは、それをしっかりと引っ張ったのです。そうすることで、彼は、プリンキピアだけでなく、数学的証明という概念そのものを、解きほぐしてしまいました。
ラッセルは、打ちのめされました…そして、数学者としてだけではありません。彼は、常に、熱心で、率直な無神論者であり、まるで、リチャード・ドーキンスが今日行っているように、キリスト教や、他の宗教を、喜んで叩いていました。1927年には、わざわざ「なぜ私はキリスト教徒ではないのか」というエッセイを書き、その中で、彼の無神論に対する、雄弁な擁護を展開しました。
そのため、ラッセルは、歩く、話す、論理的なパラドックスだと言えるでしょう。無神論以外の宗教を酷評しながら、彼は、論理と数学に、狂信的で、宗教的な信仰を置いていたのです。誤った信仰は、ゲーデルによって、徹底的に、修復不能なほどに破壊されたことが判明しました。
「私は、人々が宗教的な信仰を求めるのと同じように、確実性を求めていた」と、年老いたラッセルは、「回想録」の中で嘆きました。「私は、その確実性は、他のどこよりも、数学に見出される可能性が高いと考えていた。しかし…約20年間の非常に困難な苦労の後、私は、数学的な知識を疑いのないものにするという点で、私ができることは、もう何もない、という結論に達した」
今日、ゲーデルの不完全性定理の影響は、数学の島の海岸をはるかに超えて広がっています。3つの例をご紹介します。
第一に、ゲーデルの定理は、万物の理論（TOE）…たとえば、大統一理論（GUT）、物理学の聖杯…に対する信念を、深刻に損ないます。GUTは、自然界における4つの既知の力、つまり、重力、電磁力、強い力、弱い力に対する、単一の、首尾一貫した説明を提供することを切望しています。
アインシュタインは、晩年を、GUTを執拗に探し求めることに費やしましたが、失敗しました。実際、論理は、宇宙はおろか、算術を記述するのに十分な強力ではないことを証明することによって、ゲーデルの定理は、論理的に自己矛盾のない種類のTOEを追求することは、歯の妖精を信じるのと同じくらい妄想的であることを教えてくれます。
第二に、ゲーデルの定理は、「神は存在する」という記述が、論理的には真実であるが、証明できないことを、容易に可能にします。覚えておいてください。「真実は、証明よりも大きい」のです。
別の言い方をすると、もし論理が、正気を失うことなく、算術に取り組むことさえできないなら、1 + 1 = 2よりも、ほんの少し複雑な主題である、神についての議論を解決できる可能性は、ありません。
第三に、ゲーデルの定理は、数学の島が、信じる心の海に浮かんでいることを肯定します。ビジネスを行うためには、数学者は、まず第一に、証明されていない、あるいは、証明できない可能性のある公理を、信じなければなりません。
どんなに優秀な数学者でも…ユークリッド、フレーゲ、ラッセルであっても…一連の仮定の背後に、自分の信じる心を投げかけずに、論理的な議論を構築することはできません。
最悪の場合、その仮定は、誤った信じる心によって動かされ、フレーゲとラッセルが痛感したように、悲惨な結果につながるでしょう。最高の場合、それらは、ユークリッドとゲーデルが発見したように、啓発された信じる心によって動かされるでしょう。
いずれにせよ、ゲーデルの定理は、論理を使って、数学が、信じる心に基づいて設立された学問分野であることを証明します。原則として、どの宗教とも違いはありません。
ケンブリッジ大学の著名な数学者、ジョン・バローは、著書「The Artful Universe」の中で、「もし『宗教』が、証明不可能な声明を含む、アイデアのシステムとして定義されるなら、ゲーデルは、数学は単なる宗教ではないだけでなく、自分自身が宗教であることを証明できる、唯一の宗教であることを私たちに教えてくれた」と述べています。
数学者は、アリストテレスの論理と、ユークリッドの幾何学を賞賛していましたが、彼らは、こう疑問に思いました。それが、唯一可能な論理なのだろうか？それが、唯一可能な幾何学なのだろうか？
答えはノーです。可能な論理はたくさんあり、可能な幾何学もたくさんあります。それぞれが、異なる一連の公理、つまり、信念に依存しています。
アリストテレスの、核心的な信念の1つは、排中律（POEM）と呼ばれるものです。それは、何かが真実であるか、偽りであるかのいずれかである、その中間はない、と信じています。
しかし、POEMには、合理的な代替案がたくさんあり、数学者はそれらを使って、本物と言えるほどの、非アリストテレス的論理の、寄せ集めを生み出してきました。たとえば：
三値論理は、何かが、真実、偽り、または不明のいずれかである、と信じることに基づいています。
四値論理は、何かが、真実、偽り、真実かつ偽り、または不明のいずれかである、と信じることに基づいています。
ファジー論理（ええ、そう呼ばれています）は、何かが、無限の数の真理値を持つことができる、と信じることに基づいています。つまり、何かが、0から100パーセントまで、どこでも真実になる可能性があります。
ファジー論理は、ロック防止ブレーキを制御するコンピューターチップなど、ニュアンスのある、白黒はっきりしない方法で、突然の事態の展開に対応しなければならない電子デバイスをプログラムするために使用されます。
ファジーな考え方のチップは、「車の速度、ブレーキ圧力、ブレーキ温度、ブレーキの作動間隔、車の横方向の動きの角度と、前進方向の動きの角度」を含む、さまざまな要因の真理値を、評価することによって、どのくらい強くブレーキを踏むかを判断しなければなりません。
非常に多くの異なる種類の論理の発見は、アリストテレスの壮大な業績を、とうの昔に、王座から引きずり下ろしました。プリンストン大学の亡くなった数学者、エドワード・ネルソンは、「アリストテレスの論理は、数学には不十分である。それは、すでに、彼自身の時代の数学には不十分だった」と説明しました。
痛い。
最近、世間では、批判的思考の重要性、つまり、生徒に批判的思考を教えることについて、多くのことが語られています。私は、これに全面的に同意します。
しかし、数学における驚くべき発展を考えると、批判的思考が、単なる論理的思考よりも、はるかに多様で複雑なものを意味するようになったことを、理解する必要があります。
アリストテレスのオリジナルのレシピは、賢明に推論し、確実に真実にたどり着くための、数え切れないほどの方法の1つに過ぎず、それは、最も強力でも、最も啓示的でもありません。事情を知っている人の間では、通常のアリストテレスの論理は、二値クリスプ論理のカテゴリ…批判的思考のT型フォード…に分類されます。
同様の運命が、ユークリッドの幾何学にも降りかかっています。
ユークリッドの核心的な公理の1つは、平行線は、無限に延長しても、決して交わらない、ということです。
しかし、これは、平面にのみ当てはまり、曲面には当てはまりません。その単一の認識が、非ユークリッド幾何学の爆発的な増加を生み出しました。たとえば：
球面幾何学は、地球のような、丸みを帯びた表面に適用されます。経線は、平行線の役割を果たし、互いに徐々に曲がり、極で収束します。
双曲幾何学は、鞍のような形をした表面に適用されます。これらの世界では、平行線は、互いに剥がれ合う、鳥の群れのように、発散します。
リーマン幾何学（19世紀のドイツの発明者、ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられました）は、4次元、5次元、6次元以上の表面に適用されます。これらの表面は、平面、球面、または双曲面になる可能性があります。
多次元のリーマン表面は、ユークリッドの深遠な、超論理的な点の概念と同じように、私たちが見たり、想像したりすることはできません。それらは、人間のSQの、壮観で、不可解な産物です。
さらに、ユークリッドの点と同様に、リーマン表面は、非常に役立つことが証明されています。アインシュタインは、一般相対性理論で、重力の挙動を記述するために、4次元のリーマン表面を使用しています。それには、3つの空間次元（上下、左右、前後）と、1つの時間次元があります。
長年にわたって、実験は、アインシュタインの理論を繰り返し肯定してきました。これは、理論だけでなく、それが依存しているリーマン表面も、啓発されたIQとSQに基づいた信仰の創造物であることを意味します。
4次元のリーマン世界、幾何学的な点、量子真空、仮想粒子など、突飛で、超論理的な数学的な公理と概念に依存する科学理論の、歴史を通した目覚ましい成功は、アインシュタインを驚かせました。「結局のところ、経験とは無関係な、人間の思考の産物である数学が、現実の対象に、これほど見事に適切であるとは、どういうことなのだろうか？」
何年も前、ルイジアナ州立大学の物理学セミナーに参加していた時、私は、伝説的なハンガリー系アメリカ人の数学者で、ノーベル賞受賞者である、ユージン・ウィグナーと数日間過ごしました。
ウィグナーは、SQに関する私の推測については何も知りませんでしたが、彼自身の方法で、数学は、論理のルールだけでなく、機械のような思考方法だけでなく、単なるIQを超越する、超知性の啓示とささやきによって動かされているようであることを、認識していました。
1960年に発表されたエッセイの中で、ウィグナーは、「自然科学における数学の途方もない有用性は、神秘的なものに近く…それに対する合理的な説明はない」と述べています。
数学的な証明が、手でチェックして、二重チェックできるほど十分に短かった時代がありました。私が高校の幾何学の授業で行った何百もの証明は、そのようでした…そして、私の先生は、私が間違えた証明のすべてのステップに対して、私の成績を下げました。当時は気づいていませんでしたが、そのような狂信的な厳密さに触れたことが、私の科学的なトレーニングの、本当の始まりだったのです。
高校の幾何学の授業での証明は、今でも、短くて甘いです。しかし、専門的な、高度な数学では、そのような時代は、とうの昔に終わっています。
あなたが、「そこに！—その時に、悲惨な変化が起こった」と言うことができる、時間の単一の変曲点はありません。しかし、1993年までに、ベテランの科学ジャーナリストであるジョン・ホーガンが書いた、「証明の死」というタイトルの記事を、サイエンティフィック・アメリカンが掲載した時までに、数学における、水晶のような透明さの時代が、恐竜のように過ぎ去ったことは、明らかになっていました。
「何千年もの間、数学者は、証明…つまり、一連の公理から、反論できない結論に至る論理的なステップ…を通して証明できるもので、進歩を測ってきた」と、ホーガンは、弔いの鐘を鳴らして書きました。「今、現代の人間的思考を蝕む疑念が、ついに、数学に感染した」
ホーガンの記事が1993年に掲載されたのは、その時に、イギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズが、フェルマーの最終定理として知られる、350年前の数学的な謎を証明したと主張したからです。その主張された証明は、数百ページにも及ぶ長さだったので、それを検証するのは、簡単なことではありませんでした。さらに悪いことに、数学者が、ついに、そうすることに成功した時、彼らは、深刻な誤りを発見しました。
ワイルズにとって、それは、振り出しに戻ることを意味しました。
1年後、彼が誤りを修正したと主張した時、彼の同僚は、当然のことながら、懐疑的でした。しかし、尊敬されている数学者の陪審員が、最終的な、長々とした証明を、細部まで調べた後、ワイルズの歴史的な努力を肯定し、それは、1995年に出版されました。
私は、グッド・モーニング・アメリカのために、それに関する記事を書きました。私は、プリンストン大学に飛び、その証明が、数学における新しい時代を告げた人にインタビューしました。増大する不確実性に悩まされる時代です。
それ以来、危機は悪化する一方です。証明は、これまで以上に長く、検証が難しくなっているだけでなく、それらの多くは、コンピューターの助けを借りて生成されています。これにより、現代数学に、さらに多くの不確実性と、検証不可能性が導入されています。
スタンフォード大学のイギリス人数学者、キース・デブリンは、「私たちは今、数学の大きな命題があまりにも複雑であるため、それらが真実であるか偽りであるかを、決して確実に知ることができない時代に、必然的に、突入していると思う。それは、私たちを、他のすべての科学者と同じ立場に置く」と言います。
この記事を書いている時点で、歴史上、最も長い数学的証明は、2016年に、3人の人間と、テキサス大学オースティン校にある、11,000平方フィートの建物に存在するスーパーコンピューターによって作成されました。スーパーコンピューター、スタンピードは、3メガワットの電力を消費する、巨大な電子機器です。
スタンピードたちの、記録的な証明は、200テラバイトの長さです。それは、米国議会図書館全体のデジタル相当物です。それを読むだけでも、100億年（宇宙の年齢とほぼ同じ）かかり、各ステップを検証するには、さらに時間がかかるでしょう。
したがって、数学の島が浮かんでいる、信じる心の海は、誰もが想像していたよりも、はるかに深く、広くなっています。確かに、アリストテレスも、ユークリッドも、起こったことのいずれも予見していませんでした。
しかし、それは、100%疑いのない証明の存在を信じるほど、見当違いだった人にとってのみ、悪い知らせです。そのようなものは、数学の島には存在しません。ビッグフットが、どこにも存在しないのと同じように。
そのとおりです。私たちが今見たように、数学が浮かんでいる、信じる心の海は、証明不可能な、想像を絶する、超論理的な、SQに基づいた信念で溢れています。
単なるIQに逆らう信念。
驚くほど正直に、現実世界を記述する信念。
あなたが、その驚くべき啓示を目撃したいなら、受け入れなければならない信念。