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Bueno, a ver... si uno busca desesperadamente certezas en esta vida loca que llevamos, pues, aparentemente no hay mejor lugar que esa famosa Isla de las Matemáticas. Se supone que ahí, la gente se dedica día y noche a producir el antídoto universalmente codiciado contra la incertidumbre: pruebas libres de fe al 100%. ¿No? Pues... ¡error!
Seguro que hay matemáticos que sueñan con vivir en una isla así, ¿no? Incluso hay quien pensaba que los matemáticos formaban una nación aparte, sin importar de dónde vinieran, su raza, sus creencias, su sexo, su edad... ¡ni siquiera el tiempo! Pero, como matemático que soy, les aseguro que no existe tal cosa como una prueba libre de fe. De hecho, la mismísima Isla de las Matemáticas – la prueba en sí misma – se sostiene sobre un inmenso mar de fe. Las matemáticas dependen de creencias que no se pueden probar ni imaginar y, en muchos casos, son derechamente sobrenaturales.
Eso sí, es arriesgado decirlo en voz alta, como le pasó a un tipo que hizo una pregunta en un foro online... donde se supone que discuten sobre la naturaleza del conocimiento, la realidad y la existencia. El hombre preguntó si las pruebas matemáticas requerían fe. Él era ingeniero y pensó que iba a generar una discusión profunda sobre el tema. Pero, según contó, lo corrieron del foro a patadas.
¿A poco no? ¿Realmente se necesita fe en las pruebas matemáticas?
Para una respuesta honesta, vamos a viajar en el tiempo a Atenas y Alejandría. Vamos a conocer a dos jóvenes genios que, como Madonna y Prince, se les conocía por un solo nombre: Aristóteles y Euclides.
Aristóteles, el símbolo del hemisferio izquierdo del cerebro, acababa de inventar las reglas de la lógica, una forma nueva y estricta de pensar. Un ejemplo es el silogismo:
Todos los cuervos son negros.
Edgar es un cuervo.
Por lo tanto, Edgar es negro.
La primera afirmación es un axioma, una suposición, una creencia declarada – ojalá ilustrada. No se puede probar, pero si uno tiene fe en ella, si uno la cree, entonces puede llegar a entender algo importante sobre Edgar. Acuérdense: creer es ver.
Euclides, inspirado por la lógica de Aristóteles, estaba usando esa misma lógica para deducir todo lo que se podía saber sobre la geometría plana, el estudio de las figuras en una superficie plana.
Para lograrlo, Euclides tuvo que asumir nada menos que treinta y tres axiomas – creencias que no podía probar. Específicamente, veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco "nociones comunes", como les decía.
Las nociones comunes son algo así:
Cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.
Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
Si se restan iguales a iguales, los restos son iguales.
Cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
El todo es mayor que la parte.
Son bastante obvias, ¿verdad? Pero pregúntense, ¿por qué? ¿Por qué estos axiomas en particular les parecen tan obvios?
Es porque son afirmaciones lógicas que podemos verificar fácilmente por nosotros mismos contando piedritas o canicas. Son verdades tan triviales que solo se necesita una fe basada en el coeficiente intelectual para creerlas.
Pero otros axiomas de Euclides no son tan obvios, ni tan lógicos, ni tan triviales. De hecho, son alucinantes y requieren una fe basada en la inteligencia espiritual para creerlos.
Por ejemplo, Euclides define un punto como algo que no tiene ancho, ni profundidad, ni longitud. ¡Es algo y nada al mismo tiempo! Igual que el vacío cuántico.
Un punto no tiene sentido. No es lógico. Ni siquiera es algo que se pueda ver o imaginar.
Los reto a que se formen una imagen mental coherente de un punto. No pueden, igual que no pueden imaginarse algo que esté vivo y muerto a la vez, blanco y negro, verdadero y falso.
Sin embargo, la definición de un punto que da Euclides no es una tontería; no se puede simplemente descartar. ¿Por qué? Porque es un axioma profundo, trans-lógico, basado en la inteligencia espiritual, que el joven innovador está usando para probar la totalidad de la geometría plana.
¿Les da vueltas la cabeza?
Acuérdense de un paciente con el cerebro dividido. No podía ver la foto de una sartén que le ponían enfrente. Pero cuando cerró los ojos, el hemisferio derecho de su cerebro – impulsado por su intuición, su inteligencia espiritual – le habló sin palabras; y al instante el paciente dibujó una sartén, aunque fuera una aproximación burda.
Es el mismo fenómeno. Un punto euclidiano es algo que los ojos no pueden ver, el coeficiente intelectual no puede comprender y la imaginación ni siquiera puede concebir. Pero el hemisferio derecho del cerebro – impulsado por la inteligencia espiritual – es capaz de percibirlo sin verlo ni oírlo; y con su ayuda, y la de un lápiz afilado, uno puede dibujar una aproximación burda.
Regresemos al presente.
La inteligencia espiritual de Euclides – su fe casi religiosa en axiomas que no son lógicos y no se pueden ver ni siquiera imaginar – resultó ser tan ilustrada que revolucionó las matemáticas.
Por más de dos mil años, hemos usado el histórico logro de Euclides – los incontables teoremas de su geometría plana – para construir puentes y rascacielos, diseñar planos y calcular trayectorias a la Luna y a otros mundos. Por esa razón, se dice que se han vendido y leído más libros de texto de geometría que cualquier otro libro, excepto la Biblia.
Entonces, la geometría euclidiana es una prueba impresionante de que la lógica fundada en una fe ilustrada puede ser poderosa. Pero, ¿hay límites para el poder de la lógica? ¿O es todopoderosa, como muchos nos quieren hacer creer hoy en día?
La respuesta es no, la lógica no es todopoderosa. Tiene límites. Severos, por lo visto.
La historia de la caída épica de la lógica comenzó con el brillante lógico alemán Gottlob Frege. Él quería ser como Euclides. Anhelaba hacer por la aritmética (el estudio de los números) lo que Euclides había hecho por la geometría (el estudio de las formas).
Frege empezó articulando seis axiomas – muchos menos que los treinta y tres de Euclides. Eran creencias que, según él, le permitirían probar todos los teoremas de la aritmética, empezando por 1 + 1 = 2. Frege trabajó duro durante años hasta que, finalmente, publicó la primera entrega de lo que creía que sería una obra magna en tres volúmenes: Las leyes básicas de la aritmética.
Nueve años después, Frege terminó el segundo volumen. Pero justo cuando estaba a punto de entregar el manuscrito al editor, recibió malas noticias del legendario matemático galés Bertrand Russell.
En una carta, Russell le informó a Frege que había encontrado un error en el primer volumen. No era una errata, sino una falla devastadora en la lógica de Frege.
No voy a entrar en tecnicismos, pero básicamente Russell encontró un problema con el razonamiento de Frege que se remontaba a su quinto axioma, que define la pertenencia a un grupo, o conjunto. Los conjuntos son muy importantes en las matemáticas y deben definirse con cuidado.
Por ejemplo, el grupo de todas las personas vivas en la Tierra es el conjunto que contiene a todas y solo a aquellas personas en la Tierra que no están muertas. Bastante simple, ¿no?
Pero ahora imaginen un pueblo de hombres bien afeitados. Entre ellos está el único barbero del pueblo, que presume: "Yo afeito a todos y solo a los hombres que no se afeitan a sí mismos".
Pregunta: ¿Qué se puede decir sobre el conjunto de todos los hombres que se afeitan a sí mismos? ¿Incluye el conjunto al barbero? En otras palabras, ¿el barbero es un hombre que se afeita a sí mismo?
No respondan tan rápido; es complicado.
Supongamos que dicen que sí, que el barbero se afeita a sí mismo. Eso contradiría la afirmación del barbero de que solo afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos.
Supongamos que dicen que no, que el barbero no se afeita a sí mismo. Eso contradiría la afirmación del barbero de que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos.
Entonces, no hay una respuesta lógica a mi pregunta. La lógica fracasa rotundamente en resolver el misterio.
Otra forma de ver el problema. Pregunta: ¿Es este titular verdadero o falso?
ESTA AFIRMACIÓN ES FALSA.
Si la frase es verdadera, es falsa. Si es falsa, ¡es verdadera!
Una vez más, la lógica se descontrola, succionándonos a un torbellino de razonamiento circular del que no hay escape.
Ese, en esencia, es el fallo en la lógica de Frege que Russell detectó. Como se pueden imaginar, Frege se quedó atónito.
"Su descubrimiento de la contradicción me ha sorprendido más allá de las palabras", le respondió Frege a Russell. "Y, casi diría, que me ha dejado atónito, porque ha sacudido el terreno sobre el que pensaba construir la aritmética".
En Frege siguió adelante y publicó su segundo volumen, pero con esta triste advertencia: "A un escritor científico casi no le puede ocurrir nada más desafortunado que ver uno de los cimientos de su edificio sacudido después de que el trabajo está terminado. Esta fue la situación en la que me colocó una carta del señor Bertrand Russell, justo cuando la impresión de este volumen se acercaba a su finalización".
Frege nunca publicó el tercer volumen de su fallida obra maestra, ni mucho más durante dieciséis largos años. Para Frege ya había renunciado totalmente a la idea de usar la lógica para probar la aritmética, y murió en relativa oscuridad – aunque hoy en día se le alaba con razón por ser un lógico extraordinario.
A todos los matemáticos, no solo a Frege, les desconcertó este giro horrendo de los acontecimientos. El matemático David Hilbert llegó a admitir que "el estado actual de las cosas, donde nos topamos con las paradojas, es intolerable. ¡Imagínense, las definiciones y los métodos deductivos que todo el mundo aprende, enseña y usa en matemáticas, el paradigma de la verdad y la certeza, conducen a absurdos! Si el pensamiento matemático es defectuoso, ¿dónde vamos a encontrar la verdad y la certeza?".
¿Dónde, en efecto?
Hilbert instó a sus colegas a no perder la esperanza. Las paradojas, dijo, eran simplemente un síntoma de axiomas defectuosos – siendo el quinto axioma de Frege uno de esos culpables. La solución, por lo tanto, era seleccionar los axiomas con más cuidado... unos que fueran ilustrados, no equivocados... unos que fueran, en una palabra, auto-consistentes.
Los matemáticos respondieron con entusiasmo al sentido grito de guerra de Hilbert, incluyendo a Bertrand Russell y su brillante colega Alfred North Whitehead. Publicaron el primer volumen de una obra planeada en tres volúmenes, titulada Principia Mathematica. Prometía allanar el camino por fin para volver a poner las matemáticas sobre una base sólida y lógica – libre de paradojas.
Principia fue aclamada por los matemáticos de todo el mundo – hasta que llegó al escrutinio de Kurt Gödel. En Gödel detectó un fallo importante – no solo en Principia sino en la lógica misma. Una deficiencia fundamental que Gödel probó que no se podía superar. Nunca.
La bomba de Gödel se publicó en dos partes, ahora llamadas comúnmente los teoremas de incompletitud. Aquí hay una forma un poco técnica de describirlos:
Dado cualquier sistema formal de lógica lo suficientemente potente como para describir todas las verdades de la aritmética, será incompleto (habrá verdades que no podrá probar) o inconsistente (estará infectado de paradojas y, por lo tanto, totalmente poco fiable).
¿Les da vueltas la cabeza de nuevo? Debería.
Aquí hay una forma más sencilla de explicar los teoremas de Gödel. Cada vez que intenten pensar lógicamente sobre un tema complicado, una de dos cosas siempre ocurrirá:
Posibilidad número 1: Dirán y creerán algo que es genuinamente verdadero, pero nunca podrán probarlo. No importa lo mucho que lo intenten, la lógica les fallará porque la lógica no es lo suficientemente poderosa para hacer el trabajo.
La fallecida lógica suizo-estadounidense Verena Huber-Dyson lo expresó de esta manera: "Hay más en la verdad de lo que se puede atrapar con la prueba". Yo prefiero simplemente decir, la verdad es más grande que la prueba.
Posibilidad número 2: Probarán que algo es verdadero usando una lógica aparentemente hermética; pero de hecho, no es así. Aunque su lógica parezca rigurosa, no lo es; está llena de paradojas furtivas.
Como escribió Morris Kline, el renombrado matemático estadounidense, "la lógica es el arte de equivocarse con confianza".
La posibilidad número 2 fue el problema de Frege – y ahora, como Gödel probó, era también el de Russell y Whitehead. Qué amarga ironía.
Russell, muy afligido, reconoció rápidamente que había involuntariamente tanto habilitado como validado el devastador logro de Gödel. Tres décadas antes, Russell había encontrado un hilo suelto en la obra de Gottlob Frege; ahora Gödel había tirado de él con fuerza. Al hacerlo, había deshecho no solo el Principia sino el concepto mismo de prueba matemática.
Russell estaba atónito – y no solo como matemático. Siempre había sido un ateo devoto y abierto, criticando alegremente el cristianismo y otras religiones – muy parecido a como lo hace Richard Dawkins hoy en día. Incluso se había tomado la molestia de escribir un ensayo titulado Por qué no soy cristiano, en el que ofrece una defensa elocuente de su ateísmo.
Por esa razón, se podría decir que Russell era una paradoja lógica andante. Mientras destrozaba las religiones que no eran el ateísmo, había puesto una fe fanática, casi religiosa, en la lógica y las matemáticas. Una fe equivocada, al final, que Gödel había demolido a fondo e irreparablemente.
"Yo quería la certeza de la manera en que la gente quiere la fe religiosa", se lamentaba Russell ya anciano. "Pensé que la certeza era más probable que se encontrara en las matemáticas que en cualquier otro lugar. Pero . . . después de unos veinte años de arduo trabajo, llegué a la conclusión de que no había nada más que pudiera hacer para que el conocimiento matemático fuera indudable".
Hoy en día, las implicaciones de los teoremas de incompletitud de Gödel se extienden mucho más allá de las costas de la Isla de las Matemáticas. Aquí hay tres ejemplos.
Primero, los teoremas de Gödel socavan seriamente la creencia en una teoría del todo (TDT) – por ejemplo, la gran teoría unificada (GTU), el Santo Grial de la física. La GTU aspira a proporcionar una explicación única y coherente de las cuatro fuerzas conocidas en la naturaleza: la gravedad, el electromagnetismo, la fuerza fuerte y la fuerza débil.
Einstein pasó sus últimos años buscando tenazmente una GTU, pero fracasó. De hecho, al probar que la lógica no es lo suficientemente poderosa como para describir la aritmética, y mucho menos el universo, los teoremas de Gödel nos enseñan que perseguir cualquier tipo de TDT lógicamente auto-consistente es tan ilusorio como creer en el Ratoncito Pérez.
Segundo, los teoremas de Gödel permiten fácilmente que la afirmación "Dios existe" sea verdadera pero no demostrable lógicamente. Recuerden: La verdad es más grande que la prueba.
Dicho de otra manera: Si la lógica ni siquiera puede lidiar con la aritmética sin volverse loca, no tiene ninguna posibilidad de resolver un argumento sobre Dios, un tema un poco más complicado que 1 + 1 = 2.
Tercero, los teoremas de Gödel afirman que la Isla de las Matemáticas flota en un mar de fe. Para poder trabajar, los matemáticos deben primero y ante todo creer en axiomas no probados y posiblemente no probables.
Ningún matemático, por brillante que sea – ni Euclides, ni Frege, ni Russell – puede crear un argumento lógico sin antes depositar su fe en un conjunto de suposiciones.
En el peor de los casos, las suposiciones estarán impulsadas por una fe equivocada y conducirán a resultados desastrosos – como Frege y Russell descubrieron dolorosamente. En el mejor de los casos, estarán impulsadas por una fe ilustrada – como Euclides y Gödel descubrieron.
En cualquier caso, los teoremas de Gödel prueban – usando la lógica – que las matemáticas son una disciplina fundada en la fe. En principio, no es diferente de cualquier religión.
"Si se define una 'religión' como un sistema de ideas que contiene afirmaciones no probables", observa John Barrow, "entonces Gödel nos enseñó que las matemáticas no son solo una religión, es la única religión que puede probar que lo es". ¡Imagínate!
Incluso aunque los matemáticos admiraban la lógica de Aristóteles y la geometría de Euclides, se preguntaban: ¿Es la única lógica posible? ¿Es la única geometría posible?
La respuesta es no – hay muchas lógicas posibles y muchas geometrías posibles. Cada una depende de un conjunto diferente de axiomas, o creencias.
Una de las creencias centrales de Aristóteles se llama el principio del tercero excluido. Dice que algo es verdadero o falso; no hay un punto intermedio.
Sin embargo, resulta que hay muchas alternativas racionales al principio del tercero excluido, y los matemáticos las han usado para producir un verdadero buffet de lógicas no aristotélicas. Por ejemplo:
La lógica de tres valores se basa en creer que algo puede ser verdadero, falso o desconocido.
La lógica de cuatro valores se basa en creer que algo puede ser verdadero, falso, verdadero y falso, o desconocido.
La lógica difusa (sí, así se llama) se basa en creer que algo puede tener un número infinito de valores de verdad. Es decir, algo puede ser entre cero y 100 por ciento verdadero.
La lógica difusa se usa para programar dispositivos electrónicos que deben reaccionar a sucesos repentinos de forma matizada, no en blanco y negro – por ejemplo, los chips de computadora que controlan los frenos antibloqueo.
Los chips de lógica difusa deben decidir con cuánta fuerza deben aplicar los frenos sopesando los valores de verdad de muchos factores diferentes. Incluyen "la velocidad del coche, la presión de los frenos, la temperatura de los frenos, el intervalo entre las aplicaciones de los frenos y el ángulo del movimiento lateral del coche con respecto a su movimiento hacia adelante".
El descubrimiento de tantos tipos diferentes de lógica ha destronado hace mucho tiempo el magnífico logro de Aristóteles. "La lógica de Aristóteles", explicó "es inadecuada para las matemáticas. Ya era inadecuada para las matemáticas de su época". ¡Qué fuerte!
Hoy en día se habla mucho de la importancia del pensamiento crítico – de enseñar a los estudiantes a ser pensadores críticos. Estoy totalmente de acuerdo con esto.
Pero dados los asombrosos avances en las matemáticas, uno debe entender que el pensamiento crítico ahora significa algo mucho más diverso y complejo que meramente el pensamiento lógico.
La receta original de Aristóteles es solo una de las innumerables formas de razonar sabiamente, de llegar a la verdad de forma fiable – y ni siquiera es la más fuerte ni la más reveladora. Entre los que saben, la lógica aristotélica ordinaria entra en la categoría de una lógica nítida de dos valores – el modelo T del pensamiento crítico.
Un destino similar ha corrido la geometría de Euclides.
Uno de los axiomas centrales de Euclides es que las líneas paralelas nunca se cruzan, ni siquiera cuando se extienden hasta el infinito.
Sin embargo, esto solo es cierto para superficies planas, no para superficies curvas. Esa única constatación ha producido una explosión de geometrías no euclidianas. Por ejemplo:
Las geometrías esféricas se aplican a superficies redondeadas, como la Tierra. Las líneas de longitud desempeñan el papel de líneas paralelas, que se inclinan gradualmente unas hacia otras y convergen en los polos.
Las geometrías hiperbólicas se aplican a superficies con forma de silla de montar. En estos mundos, las líneas paralelas divergen, como una bandada de pájaros que se alejan unos de otros.
Las geometrías riemannianas se aplican a superficies con cuatro, cinco, seis y más dimensiones. Estas superficies pueden ser planas, esféricas o hiperbólicas.
Las superficies riemannianas multidimensionales son imposibles de ver, o incluso de imaginar – al igual que el profundo concepto trans-lógico de un punto de Euclides. Son productos espectaculares e insondables de la inteligencia espiritual humana.
Además, al igual que el punto de Euclides, las superficies riemannianas han demostrado ser muy útiles. Einstein usa una superficie riemanniana de 4 dimensiones en la relatividad general para describir el comportamiento de la gravedad. Tiene tres dimensiones espaciales (arriba/abajo, derecha/izquierda, adelante/atrás) y una dimensión temporal.
A lo largo de los años, los experimentos han confirmado repetidamente la teoría de Einstein. Esto implica que no solo la teoría sino también las superficies riemannianas en las que se basa son la creación de una fe ilustrada basada en el coeficiente intelectual y la inteligencia espiritual.
El asombroso éxito a lo largo de la historia de las teorías científicas que se basan en axiomas y conceptos matemáticos trans-lógicos y remotos – ya sea un mundo riemanniano de 4 dimensiones, un punto geométrico, el vacío cuántico, una partícula virtual, etc. – asombró a Einstein. "«¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo al fin y al cabo un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, sea tan admirablemente apropiada para los objetos de la realidad?»"
Hace años, mientras asistía a un seminario de física, pasé unos días con Eugene Wigner, el legendario matemático húngaro-americano y premio Nobel.
Wigner no sabía nada de mis especulaciones sobre la inteligencia espiritual; pero a su manera, reconoció que las matemáticas parecen estar impulsadas no solo por las reglas de la lógica, no solo por formas de pensar como máquinas, sino por las revelaciones y los susurros de una súper-inteligencia que trasciende el mero coeficiente intelectual.
En un ensayo publicado, Wigner observó que "la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que raya en lo misterioso y . . . no hay una explicación racional para ello".
Hubo un tiempo en que las pruebas matemáticas eran lo suficientemente breves como para ser verificadas y revisadas a mano. Las cientos de pruebas que hice en la clase de geometría de la escuela secundaria eran así – y mi profesor me bajaba la nota por cada paso de una prueba que hacía mal. No me di cuenta en ese entonces, pero estar expuesto a tal rigor fanático fue el verdadero comienzo de mi formación científica.
Las pruebas en la clase de geometría de la escuela secundaria todavía son así: cortas y dulces. Pero en las matemáticas profesionales de alto nivel, esos días se han ido hace mucho.
No hay un solo punto de inflexión en el tiempo al que se pueda señalar y decir: "¡Ahí está! – ahí es cuando ocurrió el cambio calamitoso". Pero cuando la revista publicó una historia del veterano periodista científico titulada "La muerte de la prueba", estaba muy claro que los días de claridad cristalina en las matemáticas se habían ido por el camino de los dinosaurios.
"Durante milenios, los matemáticos han medido el progreso en términos de lo que pueden demostrar a través de pruebas – es decir, una serie de pasos lógicos que conducen desde un conjunto de axiomas a una conclusión irrefutable", escribió Horgan, haciendo sonar la campana de la muerte. "Ahora las dudas que acribillan el pensamiento humano moderno finalmente han infectado las matemáticas".
El artículo de Horgan se publicó porque fue cuando el matemático británico Andrew Wiles afirmó haber probado un misterio matemático de 350 años conocido como el último teorema de Fermat. La supuesta prueba tenía cientos de páginas, por lo que no era una tarea fácil de verificar. Peor aún, cuando los matemáticos finalmente lograron hacerlo, detectaron un error grave.
Para Wiles, significó volver a la mesa de dibujo.
Un año después, cuando afirmó haber corregido el error, sus colegas naturalmente se mostraron escépticos. Pero después de repasar la prueba final, larga y tendida, un jurado de matemáticos respetados afirmó el esfuerzo histórico de Wiles, y fue publicado.
Hice una historia al respecto. Volé a la Universidad de Princeton y entrevisté al hombre cuya prueba anunciaba una nueva era en las matemáticas. Una era afligida con una creciente incertidumbre.
Desde entonces, la crisis solo ha empeorado. Las pruebas no solo son más largas y difíciles de verificar que nunca; cada vez más de ellas se están generando con la ayuda de las computadoras. Esto está introduciendo aún más incertidumbre e inverificabilidad en las matemáticas modernas.
"Creo que ahora estamos inevitablemente en una era en la que las grandes afirmaciones de las matemáticas son tan complejas que quizás nunca sepamos con certeza si son verdaderas o falsas", dice Keith Devlin, un matemático británico. "Eso nos pone en el mismo barco que todos los demás científicos".
La prueba matemática más larga de la historia fue producida por tres humanos y una supercomputadora que reside en un edificio de más de mil metros cuadrados en la Universidad de Texas en Austin. La supercomputadora, Stampede, es un gigante electrónico que se alimenta de tres megavatios de energía eléctrica.
La prueba récord de Stampede es de 200 terabytes. Eso es el equivalente digital de toda la Biblioteca del Congreso de Estados Unidos. Tomaría diez mil millones de años (casi la edad del universo) simplemente leerla – e incluso más tiempo para validar cada paso.
El mar de fe sobre el que flota la mítica Isla de las Matemáticas es mucho más profundo y amplio de lo que nadie podría haber imaginado. Ciertamente, ni Aristóteles ni Euclides previeron nada de lo que ha sucedido.
Pero eso es una mala noticia solo para las personas que fueron lo suficientemente ingenuas como para creer en la existencia de una prueba 100 por ciento libre de fe. No existe tal cosa, ni ha existido nunca, en la Isla de las Matemáticas, al igual que Bigfoot no existe ni ha existido nunca en ningún lugar.
Así es. Como acabamos de ver, el mar de fe sobre el que flotan las matemáticas está repleto de creencias no probables, inimaginables, trans-lógicas, basadas en la inteligencia espiritual.
Creencias que desafían el mero coeficiente intelectual.
Creencias que describen el mundo real con una veracidad asombrosa.
Creencias que deben abrazar si desean contemplar sus asombrosas revelaciones.