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Alors, vous voulez une certitude absolue dans cette vie complètement dingue ? Y a pas de meilleur endroit que la mythique Île des Mathématiques. Là-bas, les habitants passent leurs journées et leurs nuits à produire l'antidote universellement convoité contre l'incertitude: la preuve à 100% sans foi. Vraiment ?
Ben non!
Certains mathématiciens rêvent sans doute de vivre sur cette île enchantée. Le regretté Julia Robinson aimait imaginer les mathématiciens "comme formant une nation à part, sans distinction d'origine géographique, de race, de croyance, de sexe, d'âge ou même de temps."
Mais en tant que mathématicien moi-même, je vous assure qu'il n'existe pas de preuve sans foi. En fait, vous allez voir, toute cette île mythique des Mathématiques – la preuve elle-même – repose sur un vaste océan de foi. Les mathématiques dépendent de croyances qui ne peuvent être ni prouvées, ni même imaginées et, dans de nombreux cas, qui sont carrément surnaturelles.
Attention, c'est risqué de dire ça à haute voix… Un visiteur d’un forum en ligne, qui prétend être "un site de questions et réponses pour ceux qui s'intéressent à l'étude de la nature fondamentale de la connaissance, de la réalité et de l'existence," l'a appris à ses dépens, figurez-vous.
Il a posé une question toute simple à la communauté mathématique du forum: "Est-ce que la preuve mathématique requiert la foi ?" En tant qu'ingénieur, il espérait que sa question stimulerait une discussion approfondie sur un sujet important. "Mais," a-t-il dit, "j'ai été, en gros, mis à la porte."
Alors, est-ce que la preuve mathématique requiert la foi ?
Pour une réponse honnête, voyageons ensemble à Athènes et à Alexandrie, il y a vingt-quatre siècles. Rencontrons deux jeunes génies, qui, comme Madonna et Prince, n'ont qu'un seul nom: Aristote et Euclide.
Aristote, l’icône de la logique, vient d'inventer les règles de la logique, une nouvelle façon de penser très stricte. C'est illustré par quelque chose qu'on appelle un syllogisme, qui fonctionne comme ça :
Tous les corbeaux sont noirs.
Edgar est un corbeau.
Donc, Edgar est noir.
La première affirmation est un axiome, une supposition, une croyance déclarée – espérons-le éclairée. Elle ne peut pas être prouvée, mais si vous avez foi en elle – si vous la croyez – vous verrez quelque chose d'important au sujet d'Edgar. Souvenez-vous: croire, c'est voir.
Impressionné par la logique d'Aristote, le jeune Euclide est en train de l'utiliser pour déduire tout ce qu'il y a à savoir sur la géométrie plane, l'étude des formes sur une surface plane.
Pour ce faire, Euclide doit supposer pas moins de trente-trois axiomes, des croyances qu'il ne peut pas prouver. Plus précisément, il y a vingt-trois définitions, cinq postulats et cinq notions dites communes.
Voici les notions communes:
Les choses égales à la même chose sont égales entre elles.
Si on ajoute des égaux à des égaux, les touts sont égaux.
Si on soustrait des égaux à des égaux, les restes sont égaux.
Les choses qui coïncident sont égales entre elles.
Le tout est plus grand que la partie.
Elles sont toutes assez évidentes, n'est-ce pas? Mais demandez-vous pourquoi. Pourquoi ces axiomes particuliers vous semblent-ils si évidents ?
C'est parce que ce sont des affirmations logiques que vous pouvez facilement vérifier vous-même en faisant des expériences simples de comptage avec des billes ou des perles. Ce sont des vérités triviales qui ne requièrent qu'une foi basée sur le quotient intellectuel pour être crues.
Mais certains des autres axiomes d'Euclide ne sont pas si évidents, ne sont pas si logiques, ne sont pas si triviaux. En fait, ils sont carrément ahurissants et requièrent une foi basée sur le quotient spirituel pour être crus.
Par exemple, Euclide définit un point comme quelque chose sans largeur, sans profondeur et sans longueur. C'est à la fois quelque chose et rien ! Tout comme le vide quantique.
Un point n'a pas de sens. Ce n'est pas logique. Ce n'est même pas quelque chose que vous pouvez voir ou imaginer.
Je vous mets au défi de vous faire une image mentale cohérente d'un point. Vous ne pouvez pas le faire, pas plus que vous ne pouvez imaginer quelque chose qui soit à la fois vivant et mort, noir et blanc, vrai et faux.
Pourtant, la définition d'un point d'Euclide n'est pas un non-sens; on ne peut pas simplement la rejeter. Pourquoi? Parce que c'est un axiome profond, translogique, basé sur le quotient spirituel, que le jeune innovateur utilise pour prouver l'ensemble de la géométrie plane.
Ça vous donne le vertige ?
Repensez à Joe, le patient au cerveau divisé que nous avons rencontré. Il ne pouvait pas voir la photo d'une poêle à frire qu'on lui avait mise devant les yeux. Mais lorsqu'il a fermé les yeux, l'hémisphère droit de son cerveau – alimenté par son intuition étrange, son quotient spirituel – lui a parlé sans mots; et instantanément, Joe a dessiné une poêle à frire, bien qu'une approximation grossière.
Le même phénomène est en jeu ici. Un point euclidien est quelque chose que vos yeux ne peuvent pas voir, que votre quotient intellectuel ne peut pas comprendre et que votre imagination ne peut même pas saisir. Mais l'hémisphère droit de votre cerveau – alimenté par le quotient spirituel – est capable de le percevoir sans voir et sans mots; et avec son aide, et celle d'un crayon bien taillé, vous pouvez en dessiner une approximation grossière.
Revenons au présent.
Le quotient spirituel d'Euclide – sa foi quasi religieuse en des axiomes qui ne sont pas logiques et qui ne peuvent être ni vus ni même imaginés – s'est avéré si éclairé qu'il a révolutionné les mathématiques.
Depuis plus de deux mille ans, nous utilisons la réalisation historique d'Euclide – les innombrables théorèmes de sa géométrie plane – pour construire avec succès des ponts et des gratte-ciel, établir des plans d'étage et calculer des trajectoires vers la lune et les mondes au-delà. Pour cette raison, il paraît que plus de manuels de géométrie ont été vendus et lus dans le monde entier que tout autre livre, à l'exception de la Bible.
La géométrie euclidienne est une preuve frappante que la logique fondée sur une foi éclairée peut être puissante. Mais y a-t-il des limites à la puissance de la logique ? Ou est-elle toute-puissante, comme beaucoup voudraient vous le faire croire aujourd'hui ?
La réponse est non, la logique n'est pas toute-puissante. Elle a des limites. De sévères limites, en fait.
L'histoire renversante de la défaite épique de la logique a commencé avec le brillant logicien allemand Friedrich Ludwig Gottlob Frege. C'était un aspirant Euclide. Il aspirait à faire pour l'arithmétique (l'étude des nombres) ce qu'Euclide avait fait pour la géométrie (l'étude des formes).
Frege a commencé par formuler six axiomes, beaucoup moins que les trente-trois d'Euclide. C'étaient des croyances qui, il en était sûr, lui permettraient de prouver tous les théorèmes de l'arithmétique, en commençant par 1+1 = 2. Frege a travaillé d'arrache-pied pendant des années avant de finalement publier, en 1893, le premier volume de ce qu'il croyait être un chef-d'œuvre en trois volumes: Les lois fondamentales de l'arithmétique.
Neuf ans plus tard, Frege a terminé le deuxième volume. Mais au moment où il s'apprêtait à soumettre le manuscrit à l'éditeur, il a reçu une mauvaise nouvelle du légendaire mathématicien gallois Bertrand Russell.
Dans une lettre datée du 16 juin, Russell informa Frege qu'il avait trouvé une erreur dans le premier volume. Pas une faute de frappe, mais un défaut dévastateur dans la logique de Frege.
Je ne vais pas entrer dans les détails techniques, mais voici l'essentiel: Russell a trouvé un problème avec le raisonnement de Frege qui remontait à son cinquième axiome, qui définit l'appartenance à un groupe, ou ensemble. Les ensembles sont très importants en mathématiques et doivent être définis avec soin.
Par exemple, l'ensemble de toutes les personnes vivantes sur Terre est l'ensemble qui contient toutes et seulement les personnes sur Terre qui ne sont pas mortes. Assez simple, non ?
Mais maintenant, imaginez un village d'hommes rasés de près. Parmi eux, il y a le seul et unique barbier du village, qui se vante: "Je rase tous et seulement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes."
Question: Que pouvez-vous dire de l'ensemble de tous les hommes qui se rasent eux-mêmes? L'ensemble comprend-il le barbier? En d'autres termes, le barbier est-il un homme qui se rase lui-même?
Ne répondez pas trop vite; c'est délicat.
Supposons que vous disiez, oui, le barbier se rase lui-même. Cela contredirait la vantardise du barbier selon laquelle il ne rase que les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Supposons que vous disiez, non, le barbier ne se rase pas lui-même. Cela contredirait la vantardise du barbier selon laquelle il rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Il n'y a donc pas de réponse logique à ma question. La logique est totalement incapable de percer le mystère.
Voici une autre façon de voir le problème. Question: Ce titre est-il vrai ou faux?
CETTE AFFIRMATION EST FAUSSE.
Si la phrase est vraie, elle est fausse. Si elle est fausse, elle est vraie!
Une fois de plus, la logique devient incontrôlable, nous entraînant dans un maelström de raisonnement circulaire dont il n'y a pas d'échappatoire.
C'est, en substance, le défaut de la logique de Frege que Russell a détecté. Comme vous pouvez l'imaginer, l'aspirant Euclide était stupéfait.
"Votre découverte de la contradiction m'a surpris au-delà des mots", a répondu Frege à Russell. "Et, je serais presque tenté de dire, m'a laissé foudroyé, car elle a ébranlé le terrain sur lequel je voulais construire l'arithmétique."
En 1903, Frege a tout de même publié son deuxième volume, mais avec cette clause de non-responsabilité lugubre: "Rien de plus malheureux ne peut arriver à un écrivain scientifique que de voir l'une des fondations de son édifice ébranlée après la fin des travaux. C'est dans cette situation que je me suis trouvé à cause d'une lettre de M. Bertrand Russell, au moment même où l'impression de ce volume touchait à sa fin."
Frege n'a jamais publié le troisième volume de son chef-d'œuvre raté, ni quoi que ce soit d'autre pendant seize longues années. En 1923, il avait totalement renoncé à l'idée d'utiliser la logique pour prouver l'arithmétique, et il est décédé le 26 juillet 1925, dans un relatif anonymat – bien qu'il soit aujourd'hui à juste titre loué pour avoir été un logicien extraordinaire.
Tous les mathématiciens, pas seulement Frege, ont été déconcertés par cette tournure horrible des événements. En 1925, David Hilbert, sans doute le mathématicien le plus doué du siècle, a concédé que "l'état actuel des choses où nous nous heurtons aux paradoxes est intolérable. Imaginez, les définitions et les méthodes déductives que tout le monde apprend, enseigne et utilise en mathématiques, le summum de la vérité et de la certitude, mènent à des absurdités! Si la pensée mathématique est défectueuse, où trouverons-nous la vérité et la certitude ?"
En effet, où ?
Hilbert a exhorté ses collègues à ne pas perdre espoir. Les paradoxes, a-t-il dit, n'étaient qu'un symptôme d'axiomes défectueux – le cinquième axiome de Frege étant l'un de ces coupables. La solution, par conséquent, était de choisir des axiomes plus soigneusement... des axiomes éclairés, et non trompeurs... des axiomes qui étaient, en un mot, cohérents.
Les mathématiciens ont répondu avec enthousiasme au cri de guerre plaintif de Hilbert, y compris Bertrand Russell et son brillant collègue Alfred North Whitehead. En 1910, ils ont publié (clin d'œil à Frege!) le premier volume d'un ouvrage prévu en trois volumes, intitulé Principia Mathematica. Il promettait d'ouvrir enfin la voie à la remise des mathématiques sur des bases solides et logiques – exemptes de tout paradoxe.
Principia a été salué par les mathématiciens de tous les horizons – jusqu'à ce qu'il soit examiné de près par Kurt Gödel. En 1931, le génie reclus a repéré un défaut majeur – pas seulement dans Principia, mais dans la logique elle-même. Une déficience fondamentale que Gödel a prouvé ne pouvait être surmontée. Jamais.
La bombe de Gödel a été publiée en deux parties, aujourd'hui communément appelées les théorèmes d'incomplétude. Voici une façon légèrement technique de les décrire:
Étant donné un système formel de logique suffisamment puissant pour décrire toutes les vérités de l'arithmétique, il sera soit incomplet (il y aura des vérités qu'il ne pourra pas prouver), soit incohérent (il sera infecté par des paradoxes et donc totalement peu fiable).
Ça vous donne encore le vertige? Ça devrait.
Voici une façon plus simple d'expliquer les théorèmes de Gödel. Chaque fois que vous essayez de penser logiquement à un sujet compliqué, l'une des deux choses suivantes se produira toujours:
Possibilité #1: Vous direz et croirez quelque chose qui est authentiquement vrai, mais vous ne serez jamais capable de le prouver. Peu importe vos efforts, la logique vous fera défaut parce qu'elle n'est pas assez puissante pour faire le travail.
La regrettée logicienne suisso-américaine Verena Huber-Dyson l'a exprimé ainsi: "Il y a plus de vérité qu'on ne peut en saisir par la preuve." Je préfère simplement dire: La vérité est plus grande que la preuve.
Possibilité #2: Vous prouverez que quelque chose est vrai en utilisant une logique apparemment hermétique; mais en fait, ce n'est pas le cas. Même si votre logique semble rigoureuse, elle ne l'est pas; elle est truffée de paradoxes sournois.
Comme Morris Kline, le célèbre mathématicien américain, l'a écrit dans son manuel Mathematics for the Nonmathematician, "La logique est l'art de se tromper avec assurance."
La possibilité #2 était le problème de Frege – et maintenant, comme Gödel l'a prouvé, c'était aussi le problème de Russell et de Whitehead. Quelle ironie amère.
Un Russell désolé a rapidement reconnu qu'il avait involontairement à la fois permis et validé la réalisation dévastatrice de Gödel. Trois décennies plus tôt, Russell avait trouvé un fil lâche dans l'œuvre de Gottlob Frege; maintenant, Gödel avait tiré dessus fort et bien. Ce faisant, il avait démêlé non seulement Principia, mais le concept même de preuve mathématique.
Russell était abasourdi – et pas seulement en tant que mathématicien. Il avait toujours été un athée fervent et virulent, critiquant joyeusement le christianisme et d'autres religions, comme le fait Richard Dawkins aujourd'hui. En 1927, il avait même pris la peine d'écrire un essai intitulé Pourquoi je ne suis pas chrétien, dans lequel il offre une défense éloquente de son athéisme.
Pour cette raison, on pourrait dire que Russell était un paradoxe logique ambulant. Tout en démolissant les religions autres que l'athéisme, il avait placé une foi fanatique, quasi religieuse, dans la logique et les mathématiques. Une foi trompeuse, il s'avère, que Gödel avait maintenant complètement et irréparablement démolie.
"Je voulais une certitude du même genre que celle que les gens veulent dans la foi religieuse", déplorait un Russell âgé dans Portraits from Memory. "Je pensais qu'il était plus probable de trouver cette certitude en mathématiques qu'ailleurs. Mais... après une vingtaine d'années de labeur très ardu, je suis arrivé à la conclusion que je ne pouvais plus rien faire pour rendre la connaissance mathématique indubitable."
Aujourd'hui, les implications des théorèmes d'incomplétude de Gödel se répercutent bien au-delà des rivages de l'Île des Mathématiques. Voici trois illustrations.
Premièrement, les théorèmes de Gödel minent sérieusement la croyance en une théorie du tout – par exemple, la grande théorie unifiée, le Saint Graal de la physique. La grande théorie unifiée aspire à fournir une explication unique et cohérente des quatre forces connues de la nature: la gravité, l'électromagnétisme, la force forte et la force faible.
Einstein a passé ses dernières années à rechercher obstinément une grande théorie unifiée, mais il a échoué. En effet, en prouvant que la logique n'est pas assez puissante pour décrire l'arithmétique, sans parler de l'univers, les théorèmes de Gödel nous enseignent que la poursuite de tout type de théorie du tout logiquement cohérente est aussi illusoire que de croire à la fée des dents.
Deuxièmement, les théorèmes de Gödel permettent facilement à l'affirmation "Dieu existe" d'être vraie mais non prouvable logiquement. Souvenez-vous: La vérité est plus grande que la preuve.
Autrement dit: Si la logique ne peut même pas s'attaquer à l'arithmétique sans perdre la tête, elle n'a aucune chance de trancher un argument sur Dieu, un sujet un peu plus compliqué que 1 + 1 = 2.
Troisièmement, les théorèmes de Gödel affirment que l'Île des Mathématiques flotte dans une mer de foi. Pour faire des affaires, les mathématiciens doivent d'abord et avant tout croire en des axiomes non prouvés et peut-être non prouvables.
Aucun mathématicien, aussi brillant soit-il – ni Euclide, ni Frege, ni Russell – ne peut créer un argument logique sans d'abord placer sa foi derrière un ensemble de suppositions.
Au pire, les suppositions seront alimentées par une foi trompeuse et mèneront à des résultats désastreux – comme Frege et Russell l'ont douloureusement découvert. Au mieux, elles seront alimentées par une foi éclairée – comme Euclide et Gödel l'ont découvert.
Quoi qu'il en soit, les théorèmes de Gödel prouvent – en utilisant la logique – que les mathématiques sont une discipline fondée sur la foi. En principe, pas différente de toute religion.
"Si une 'religion' est définie comme un système d'idées qui contient des affirmations non prouvables", observe John Barrow, l'éminent mathématicien de Cambridge, dans The Artful Universe, "alors Gödel nous a enseigné que les mathématiques ne sont pas seulement une religion, c'est la seule religion qui peut prouver qu'elle en est une."
Même si les mathématiciens admiraient la logique d'Aristote et la géométrie d'Euclide, ils se demandaient: Est-ce la seule logique possible? Est-ce la seule géométrie possible?
La réponse est non – il existe de nombreuses logiques possibles et de nombreuses géométries possibles. Chacune dépend d'un ensemble différent d'axiomes, ou de croyances.
L'une des croyances fondamentales d'Aristote est appelée le principe du tiers exclu. Il croit que quelque chose est soit vrai, soit faux; il n'y a pas d'entre-deux.
Cependant, il s'avère qu'il existe de nombreuses alternatives rationnelles au principe du tiers exclu, et les mathématiciens les ont utilisées pour produire un véritable buffet de logiques non aristotéliciennes. Par exemple:
La logique à trois valeurs est basée sur la croyance que quelque chose peut être vrai, faux ou inconnu.
La logique à quatre valeurs est basée sur la croyance que quelque chose peut être vrai, faux, vrai et faux, ou inconnu.
La logique floue (oui, c'est comme ça qu'elle s'appelle) est basée sur la croyance que quelque chose peut avoir un nombre infini de valeurs de vérité. C'est-à-dire que quelque chose peut être vrai de zéro à 100%.
La logique floue est utilisée pour programmer des appareils électroniques qui doivent réagir à des développements soudains de manière nuancée, non noir et blanc – par exemple, les puces informatiques qui contrôlent les freins antiblocage.
Les puces à l'esprit flou doivent décider de la force avec laquelle il faut freiner en évaluant les valeurs de vérité de nombreux facteurs différents. Il s'agit notamment de "la vitesse de la voiture, la pression des freins, la température des freins, l'intervalle entre les applications des freins et l'angle du mouvement latéral de la voiture par rapport à son mouvement vers l'avant".
La découverte d'autant de types différents de logique a depuis longtemps détrôné la réalisation magnifique d'Aristote. "La logique d'Aristote", expliquait le regretté mathématicien de l'Université de Princeton, Edward Nelson, "est inadéquate pour les mathématiques. Elle était déjà inadéquate pour les mathématiques de son époque."
Aïe.
On parle beaucoup en public ces jours-ci de l'importance de la pensée critique – d'enseigner aux étudiants à être des penseurs critiques. Je suis tout à fait d'accord avec cela.
Mais compte tenu des développements étonnants en mathématiques, vous devez comprendre que la pensée critique signifie maintenant quelque chose de beaucoup plus diversifié et complexe que la simple pensée logique.
La recette originale d'Aristote n'est qu'une des innombrables façons de raisonner sagement, d'arriver à la vérité de manière fiable – et ce n'est même pas la plus forte ou la plus révélatrice. Parmi ceux qui sont au courant, la logique aristotélicienne ordinaire entre dans la catégorie d'une logique nette à deux valeurs – la Ford T de la pensée critique.
Un sort similaire est arrivé à la géométrie d'Euclide.
L'un des axiomes fondamentaux d'Euclide est que les lignes parallèles ne se croisent jamais, même lorsqu'elles sont prolongées à l'infini.
Cependant, cela n'est vrai que pour les surfaces planes, pas pour les surfaces courbes. Cette seule réalisation a produit une explosion de géométries non euclidiennes. Par exemple:
Les géométries sphériques s'appliquent aux surfaces arrondies, comme la Terre. Les lignes de longitude jouent le rôle de lignes parallèles, qui se courbent progressivement les unes vers les autres et convergent aux pôles.
Les géométries hyperboliques s'appliquent aux surfaces en forme de selle. Sur ces mondes, les lignes parallèles divergent – comme un vol d'oiseaux qui s'éloignent les uns des autres.
Les géométries riemanniennes (du nom de leur inventeur allemand du XIXe siècle, Georg Friedrich Bernhard Riemann) s'appliquent aux surfaces à quatre, cinq, six dimensions et plus. Ces surfaces peuvent être plates, sphériques ou hyperboliques.
Les surfaces riemanniennes multidimensionnelles sont impossibles à voir, ou même à imaginer, pour nous – tout comme le concept profond et translogique d'Euclide d'un point. Ce sont des produits spectaculaires et insondables du quotient spirituel humain.
De plus, comme le point d'Euclide, les surfaces riemanniennes se sont avérées très utiles. Einstein utilise une surface riemannienne en relativité générale pour décrire le comportement de la gravité. Elle a trois dimensions spatiales (haut/bas, droite/gauche, avant/arrière) et une dimension temporelle.
Au fil des ans, des expériences ont confirmé à plusieurs reprises la théorie d'Einstein. Cela implique que non seulement la théorie, mais aussi les surfaces riemanniennes sur lesquelles elle repose sont la création d'une foi éclairée basée sur le quotient intellectuel et le quotient spirituel.
Le succès stupéfiant à travers l'histoire des théories scientifiques qui reposent sur des axiomes et des concepts mathématiques farfelus et translogiques – qu'il s'agisse d'un monde riemannien à 4 dimensions, d'un point géométrique, d'un vide quantique, d'une particule virtuelle, etc. – a étonné Einstein. "Comment se fait-il que les mathématiques, qui sont après tout un produit de la pensée humaine indépendant de l'expérience, soient si admirablement appropriées aux objets de la réalité ?"
Il y a des années, alors que j'assistais à un séminaire de physique à l'Université de Louisiane, j'ai passé quelques jours avec Eugene Wigner, le légendaire mathématicien hongro-américain et lauréat du prix Nobel.
Wigner ne savait rien de mes spéculations concernant le quotient spirituel; mais à sa manière, il a reconnu que les mathématiques semblent être alimentées non seulement par les règles de la logique, non seulement par des façons de penser machinelles, mais par les révélations et les chuchotements d'une super-intelligence qui transcende le simple quotient intellectuel.
Dans un essai publié en 1960, Wigner a observé que "l'énorme utilité des mathématiques dans les sciences naturelles est quelque chose qui frise le mystère et... il n'y a pas d'explication rationnelle à cela."
Il fut un temps où les preuves mathématiques étaient suffisamment brèves pour être vérifiées et revérifiées à la main. Les centaines de preuves que j'ai faites en classe de géométrie au lycée étaient comme ça – et mon professeur baissait ma note pour chaque étape d'une preuve que je me trompais. Je ne réalisais pas à l'époque, mais être exposé à une telle rigueur fanatique était le véritable début de ma formation scientifique.
Les preuves en classe de géométrie au lycée sont toujours comme ça: courtes et douces. Mais dans les mathématiques professionnelles de haut niveau, ces jours sont révolus depuis longtemps.
Il n'y a pas un seul point d'inflexion dans le temps que vous pouvez pointer du doigt et dire: "Voilà! – c'est à ce moment-là que le changement désastreux s'est produit." Mais en 1993, lorsque Scientific American a publié un article du journaliste scientifique chevronné John Horgan intitulé "La mort de la preuve", il était clair comme de l'eau de roche que les jours de clarté cristalline en mathématiques avaient disparu comme les dinosaures.
"Pendant des millénaires, les mathématiciens ont mesuré les progrès en termes de ce qu'ils peuvent démontrer par des preuves – c'est-à-dire une série d'étapes logiques menant d'un ensemble d'axiomes à une conclusion irréfutable", a écrit Horgan, sonnant le glas. "Maintenant, les doutes qui rongent la pensée humaine moderne ont finalement infecté les mathématiques."
L'article de Horgan a été publié en 1993 parce que c'est à ce moment-là que le mathématicien britannique Andrew Wiles a affirmé avoir prouvé un mystère mathématique vieux de 350 ans connu sous le nom de dernier théorème de Fermat. La preuve alléguée était longue de centaines de pages, il n'était donc pas facile de la vérifier. Pire encore, lorsque les mathématiciens ont finalement réussi à le faire, ils ont repéré une erreur sérieuse.
Pour Wiles, c'était retour à la planche à dessin.
Un an plus tard, lorsqu'il a affirmé avoir corrigé l'erreur, ses collègues étaient naturellement sceptiques. Mais après avoir examiné la preuve finale et longue à la loupe, un jury de mathématiciens respectés a affirmé l'effort historique de Wiles, et il a été publié en 1995.
J'ai fait un reportage à ce sujet pour Good Morning America. Je me suis envolé pour l'Université de Princeton et j'ai interviewé l'homme dont la preuve annonçait un nouvel âge en mathématiques. Un âge affligé d'une incertitude croissante.
Depuis lors, la crise n'a fait qu'empirer. Les preuves ne sont pas seulement plus longues et plus difficiles à vérifier que jamais; de plus en plus d'entre elles sont générées avec l'aide d'ordinateurs. Cela introduit dans les mathématiques modernes encore plus d'incertitude et d'invérifiabilité.
"Je pense que nous sommes maintenant inéluctablement dans un âge où les grandes affirmations des mathématiques sont si complexes que nous ne saurons peut-être jamais avec certitude si elles sont vraies ou fausses", déclare Keith Devlin, un mathématicien britannique de l'Université de Stanford. "Cela nous met dans le même bateau que tous les autres scientifiques."
Au moment où j'écris ces lignes, la preuve mathématique la plus longue de l'histoire a été produite en 2016 par trois humains et un superordinateur qui réside dans un bâtiment de 11 000 pieds carrés à l'Université du Texas à Austin. Le superordinateur, Stampede, est un mastodonte électronique qui consomme trois mégawatts d'énergie électrique.
La preuve record de Stampede, et al., est longue de 200 téraoctets. C'est l'équivalent numérique de l'ensemble de la bibliothèque du Congrès américain. Il faudrait dix milliards d'années (presque l'âge de l'univers) simplement pour la lire – et encore plus longtemps pour valider chaque étape.
La mer de foi sur laquelle flotte maintenant l'île mythique des mathématiques est donc bien plus profonde et plus large que quiconque aurait pu l'imaginer. Certainement, ni Aristote ni Euclide n'ont prévu quoi que ce soit de ce qui s'est passé.
Mais ce sont de mauvaises nouvelles seulement pour les personnes qui étaient assez malavisées pour croire à l'existence d'une preuve à 100% sans foi. Une telle chose n'existe pas et n'a jamais existé sur l'île des mathématiques, tout comme Bigfoot n'existe pas et n'a jamais existé nulle part.
C'est exact. Comme nous venons de le voir, la mer de foi sur laquelle flottent les mathématiques regorge de croyances non prouvables, inimaginables, translogiques et basées sur le quotient spirituel.
Des croyances qui défient le simple quotient intellectuel.
Des croyances qui décrivent le monde réel avec une véracité étrange.
Des croyances que vous devez embrasser si vous souhaitez contempler leurs révélations étonnantes. Voilà.